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==개요==
  
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* 크로네커-베버 정리
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* cyclotomic units
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* class field theory
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* Iwasawa theory
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==기호==
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* <math>\zeta_n</math>는 원시 n-단위근
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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>
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==갈루아군==
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;정리
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<math>G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>
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<math>\wp \subset K</math> 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.
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소수 p에 대한 아틴 심볼은 <math>\text{Gal}(K/\mathbb Q)</math>의 원소로,  <math>\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp</math> 를 만족시킨다.
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<math>\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b</math> 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■
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* [[유한생성 아벨군의 기본정리]]
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==원분체의 데데킨트 제타함수==
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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>에 대한 [[데데킨트 제타함수]]
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:<math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math>
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* 제타함수의 분해:<math>\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)</math>
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* 이로부터 [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] 를 얻을 수 있다
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* 자세한 내용은 [[원분체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조
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==유수(class number)==
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* [[원분체의 유수]] 항목 참조
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==메모==
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* Barry Mazur [http://www.ams.org/journals/bull/2011-48-02/S0273-0979-2011-01326-X/home.html How can we construct abelian Galois extensions of basic number fields?] Bull. Amer. Math. Soc. 48 (2011), 155-209.
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]
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* [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론]]
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* [[가우스와 정17각형의 작도]]
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* [[데데킨트 제타함수]]
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* [[정규소수 (regular prime)]]
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* [[베르누이 다항식]]
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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*  https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxME1PNGVkOEtsRmc/edit
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==수학용어번역==
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* {{학술용어집|url=cyclotomic}}
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==사전 형태의 자료==
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EB%B6%84%EC%B2%B4 http://ko.wikipedia.org/wiki/원분체]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/cyclotomic_field
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* http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cyclotomic_field
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==관련도서==
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* Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1554628 Q1554628]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'cyclotomic'}, {'LEMMA': 'field'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

개요

  • 크로네커-베버 정리
  • cyclotomic units
  • class field theory
  • Iwasawa theory


기호

  • \(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)


갈루아군

정리

\(G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

증명

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\text{Gal}(K/\mathbb Q)\)의 원소로, \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시킨다.

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■



원분체의 데데킨트 제타함수

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]


유수(class number)


메모


역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역


사전 형태의 자료



관련도서

  • Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'cyclotomic'}, {'LEMMA': 'field'}]
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