"점화식, 미분방정식, 선형대수학"의 두 판 사이의 차이

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=+sin+3x+*+sin+4x+
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==개요==
  
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[http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0%5E%28pi%29+1/2+%28cos%28x%29-cos%287+x%29%29+dx http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^(pi)+1/2+(cos(x)-cos(7+x))+dx]
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[[07 점화식]]
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==선형점화식==
  
 
<math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식
 
<math>pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0</math> 꼴의 점화식
  
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점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
  
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* <math>p+q+r =0</math> 일 때<br>
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** 잘 정리하면 <math>a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)</math> 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 <math>b_n = a_{n+1} - a_{n}</math> 에 대한 등차수열이라고 생각하고, <math>b_n</math> 을 구한다.
 
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** 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
 
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* <math>p+q+r \ne 0 </math> 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)<br>
 
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** 결론부터 말하자면,<br>
 
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*** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 라 하면, <math>a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}</math> 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
 
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*** 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우에는 <math>a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}</math> 꼴이 된다.
 
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** <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 의 두 근 <math>\alpha, \beta</math> 에 대하여, <math>p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r</math> 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로<br><math>a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0</math> 라고 쓸 수 있다.<br> 이제 <math>a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 으로 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\beta a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br><math>a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)</math> 로도 쓸 수 있다. <math>(a_{n+1} -\alpha a_n)</math> 에 대한 등비수열을 풀기.<br> 연립해서 <math>a_{n+1}</math> 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.<br> 이 점화식을 <math>p+q+r=0</math> 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.<br>  <br>
 
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** ex) 피보나치 수열 <math>a_{n+2} =  a_{n+1} + a_n</math> 의 일반항을 구하시오. (<math>a_1 = a_ 2 = 1</math>)
 
  
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특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우.
  
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벡터공간
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수열 <math>\alpha^{n}</math>와 <math>\beta^{n}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.
  
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내적
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따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}</math> 꼴로 주어진다.
  
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Hermitian operator
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특성방정식 <math>px^2 + qx + r = 0 </math> 가 중근 <math>\alpha</math> 를 가지는 경우
  
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<math>(f'',g)=(f,g'')</math>
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수열 <math>\alpha^{n} </math>와 <math>n\alpha^{n} </math>는 선형독립인 두 해가 된다.
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따라서 점화식의 일반해는 <math>a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}</math> 꼴로 주어진다.
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(증명)
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수열 <math>n\alpha^{n} </math>이 점화식의 해가 되는지를 확인하면 된다.
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<math>p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1}  + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0</math>
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여기서 <math>px^2 + qx + r = 0 </math>가 중근 <math>\alpha</math>을 가지므로 <math>p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0</math>이다.
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==상수계수 이계 선형미분방정식==
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<math>ay''+by'+cy=0</math>
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선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
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특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 서로 다른 두 근을 <math>\alpha, \beta</math> 를 갖는 경우.
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함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>e^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.
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따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}</math> 꼴로 주어진다.
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특성방정식 <math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 가 중근을 <math>\alpha</math> 를 갖는 경우.
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함수 <math>e^{\alpha t}</math>와 <math>te^{\beta t}</math>는 선형독립인 두 해가 된다.
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따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 <math>y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}</math> 꼴로 주어진다.
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(증명)
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<math>ax^2 + bx + c = 0 </math>가 중근 <math>\alpha</math>을 가지므로 <math>a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0</math>이다.
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<math>y(t) = te^{\alpha t}</math> 라 하자.
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<math>y'(t) =  (\alpha t+1)e^{\alpha t}</math>
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<math>y''(t) =  (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}</math>
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미분방정식에 대입하면,
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<math>ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0</math> ■
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==관련된 항목들==
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* [[선형점화식]]
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]
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[[분류:선형대수학]]

2020년 12월 28일 (월) 03:53 기준 최신판

개요

선형점화식

\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식

점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.


특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

수열 \(\alpha^{n}\)와 \(\beta^{n}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}\) 꼴로 주어진다.


특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우

수열 \(\alpha^{n} \)와 \(n\alpha^{n} \)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 \(a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}\) 꼴로 주어진다.

(증명)

수열 \(n\alpha^{n} \)이 점화식의 해가 되는지를 확인하면 된다.

\(p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0\)

여기서 \(px^2 + qx + r = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0\)이다.

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상수계수 이계 선형미분방정식

\(ay''+by'+cy=0\)

선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.


특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.

함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(e^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}\) 꼴로 주어진다.


특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 중근을 \(\alpha\) 를 갖는 경우.


함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(te^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.


따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}\) 꼴로 주어진다.



(증명)

\(ax^2 + bx + c = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0\)이다.

\(y(t) = te^{\alpha t}\) 라 하자.

\(y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}\)

\(y''(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}\)

미분방정식에 대입하면,

\(ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0\) ■




관련된 항목들

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