"자연수의 분할수(integer partitions)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(같은 사용자의 중간 판 12개는 보이지 않습니다)
4번째 줄: 4번째 줄:
 
* 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
 
* 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
 
* 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
 
* 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
−
* 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5  일곱가지 방법
+
* 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5  일곱가지 방법
−
*  자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 <math>p(n)</math> (n의 분할수, partition number)라 한다.<br>
+
*  자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 <math>p(n)</math> (n의 분할수, partition number)라 한다.
−
** p(3)=3, p(5)=7
+
** <math>p(3)=3, p(5)=7</math>
−
 
+
* 정수론, 조합론, 통계물리 등에서 중요한 역할 (모듈라 형식과 q-초기하급수 등)
  
  
 
==수가 작은 경우의 분할수==
 
==수가 작은 경우의 분할수==
−
\begin{array}{cc}
+
\begin{array}{c|c}
 
  n & p(n) \\
 
  n & p(n) \\
 
\hline
 
\hline
37번째 줄: 37번째 줄:
 
* [[200까지의 분할수 목록]]
 
* [[200까지의 분할수 목록]]
  
−
 
+
  
 
==생성함수==
 
==생성함수==
  
−
*  분할수의 [[생성함수]]는 무한곱으로 표현가능
+
*  분할수의 [[생성함수]]는 무한곱으로 표현가능
−
:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots</math><br>
+
:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots</math>
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math>
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math>
−
* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]] 항목을 참조
+
* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]] 항목을 참조
  
  
 
==분할수의 점화식==
 
==분할수의 점화식==
  
−
*  분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨:<math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math><br>
+
*  분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨
−
 
+
:<math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math>
−
 
 
  
−
(증명)
+
;증명
  
 
[[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]] 를 이용하자.
 
[[오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)]] 를 이용하자.
61번째 줄: 60번째 줄:
  
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math> 의 역수이므로, 둘을 곱하여
 
:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} </math> 의 역수이므로, 둘을 곱하여
−
:<math>(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1</math> 
+
:<math>(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1</math>  
  
 
을 얻는다. 이로부터
 
을 얻는다. 이로부터
 
:<math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math>
 
:<math>p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots</math>
−
를 얻을 수 있다.  ■
+
를 얻을 수 있다. ■
  
−
*  예<br>
+
===예===
−
** <math>p(10)=42</math>
+
* <math>p(10)=42</math>
−
** <math>p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42</math>
+
* <math>p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42</math>
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==분할수가 만족시키는 합동식==
 
==분할수가 만족시키는 합동식==
−
*  라마누잔의 발견:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math>:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br>
+
*  라마누잔의 발견:<math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math>:<math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math>:<math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math>
 
* [[분할수가 만족시키는 합동식]] 항목 참조
 
* [[분할수가 만족시키는 합동식]] 항목 참조
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==분할수의 근사공식==
 
==분할수의 근사공식==
94번째 줄: 93번째 줄:
  
  
−
 
+
−
 
 
−
==관련된 고교수학 또는 대학수학==
 
−
 
 
−
* [[일변수미적분학]]
 
−
* [[해석개론]]
 
−
* [[복소함수론]]
 
−
* [[초등정수론]]
 
−
* [[해석적정수론]]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
118번째 줄: 105번째 줄:
 
* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]
 
* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]]
  
−
 
 
  
−
 
+
===관련된 고교수학 또는 대학수학===
 +
 
 +
* [[일변수미적분학]]
 +
* [[해석개론]]
 +
* [[복소함수론]]
 +
* [[초등정수론]]
 +
* [[해석적정수론]]
 +
 
 +
 
 +
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbXN3Zm5LZnFPNU0/edit
 +
  
 
==관련도서==
 
==관련도서==
126번째 줄: 124번째 줄:
  
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
134번째 줄: 132번째 줄:
 
* George E. Andrews [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"], Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
 
* George E. Andrews [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"], Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573.
 
* P. Shiu, [http://www.jstor.org/stable/3618767 Computations of the Partition Function] <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 45-52
 
* P. Shiu, [http://www.jstor.org/stable/3618767 Computations of the Partition Function] <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 45-52
−
 
 
  
 +
 +
==관련논문==
 +
* Koustav Banerjee, Prabir Das Adhikary, An elementary alternative proof for chan's analogue of ramanujan's most beautiful identity and some inequality of the cubic partition, arXiv:1604.03439 [math.NT], April 12 2016, http://arxiv.org/abs/1604.03439
 +
* Scott Ahlgren, Nickolas Andersen, Algebraic and transcendental formulas for the smallest parts function, 10.1016/j.aim.2015.11.011, http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.011, Adv. Math. 289 (2016) 411-437, http://arxiv.org/abs/1504.02500v3
 +
* Judge, Samuel D., William J. Keith, and Fabrizio Zanello. “On the Density of the Odd Values of the Partition Function.” arXiv:1511.05531 [math], November 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05531.
 +
* Belmont, Eva, Holden Lee, Alexandra Musat, and Sarah Trebat-Leder. “L-Adic Properties of Partition Functions.” arXiv:1510.01202 [math], October 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.01202.
 +
* Alwaise, Ethan, Robert Dicks, Jason Friedman, Lianyan Gu, Zach Harner, Hannah Larson, Madeline Locus, Ian Wagner, and Josh Weinstock. “Shifted Distinct-Part Partition Identities in Arithmetic Progressions.” arXiv:1507.07943 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07943.
 +
* O’Sullivan, Cormac. “Asymptotics for the Partial Fractions of the Restricted Partition Generating Function I.” arXiv:1507.07975 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07975.
 +
* O’Sullivan, Cormac. “Asymptotics for the Partial Fractions of the Restricted Partition Generating Function II.” arXiv:1507.07977 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07977.
 +
* Engel, Benjamin. “Log-Concavity of the Overpartition Function.” arXiv:1412.4603 [math], December 15, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.4603.
 +
* DeSalvo, Stephen, and Igor Pak. “Log-Concavity of the Partition Function.” arXiv:1310.7982 [math], October 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1310.7982.
  
 
==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
143번째 줄: 151번째 줄:
 
[[분류:q-급수]]
 
[[분류:q-급수]]
 
[[분류:분할수]]
 
[[분류:분할수]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q298708 Q298708]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LEMMA': 'partition'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:57 기준 최신판

개요

  • 분할수란 주어진 자연수를 자연수들의 덧셈으로 표현하는 방법의 수를 말함.
  • 주어진 자연수를 자연수 몇 개로 쪼개서 그 합으로 쓸 수 있는 방법의 수
  • 가령 주어진 수가 3 이라면, 1+1+1, 2+1, 3 세 가지 방법
  • 주어진 자연수가 5 라면 1+1+1+1+1, 2+1+1+1, 2+2+1, 3+1+1, 3+2, 4+1, 5 일곱가지 방법
  • 자연수 n에 대하여 이런 식으로 표현할 수 있는 방법의 수를 \(p(n)\) (n의 분할수, partition number)라 한다.
    • \(p(3)=3, p(5)=7\)
  • 정수론, 조합론, 통계물리 등에서 중요한 역할 (모듈라 형식과 q-초기하급수 등)


수가 작은 경우의 분할수

\begin{array}{c|c} n & p(n) \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 5 \\ 5 & 7 \\ 6 & 11 \\ 7 & 15 \\ 8 & 22 \\ 9 & 30 \\ 10 & 42 \\ 11 & 56 \\ 12 & 77 \\ 13 & 101 \\ 14 & 135 \\ 15 & 176 \\ 16 & 231 \\ 17 & 297 \\ 18 & 385 \\ 19 & 490 \\ 20 & 627 \\ \end{array}


생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\] \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \]


분할수의 점화식

  • 분할수는 아래의 점화식을 만족시키는데, 컴퓨터가 등장하기 전에는 이 점화식을 이용하여, 분할수의 표를 작성했을 것이라 추측됨

\[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\]

증명

오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 를 이용하자. \[(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots\]

이는 분할수의 생성함수(오일러 함수)

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \] 의 역수이므로, 둘을 곱하여 \[(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n)(1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots)=1\]

을 얻는다. 이로부터 \[p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots\] 를 얻을 수 있다. ■

예

  • \(p(10)=42\)
  • \(p(9) + p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42\)



분할수가 만족시키는 합동식



분할수의 근사공식

\[p(n) \approx \frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]


메모



관련된 항목들


관련된 고교수학 또는 대학수학


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련도서




리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Koustav Banerjee, Prabir Das Adhikary, An elementary alternative proof for chan's analogue of ramanujan's most beautiful identity and some inequality of the cubic partition, arXiv:1604.03439 [math.NT], April 12 2016, http://arxiv.org/abs/1604.03439
  • Scott Ahlgren, Nickolas Andersen, Algebraic and transcendental formulas for the smallest parts function, 10.1016/j.aim.2015.11.011, http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2015.11.011, Adv. Math. 289 (2016) 411-437, http://arxiv.org/abs/1504.02500v3
  • Judge, Samuel D., William J. Keith, and Fabrizio Zanello. “On the Density of the Odd Values of the Partition Function.” arXiv:1511.05531 [math], November 17, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05531.
  • Belmont, Eva, Holden Lee, Alexandra Musat, and Sarah Trebat-Leder. “L-Adic Properties of Partition Functions.” arXiv:1510.01202 [math], October 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.01202.
  • Alwaise, Ethan, Robert Dicks, Jason Friedman, Lianyan Gu, Zach Harner, Hannah Larson, Madeline Locus, Ian Wagner, and Josh Weinstock. “Shifted Distinct-Part Partition Identities in Arithmetic Progressions.” arXiv:1507.07943 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07943.
  • O’Sullivan, Cormac. “Asymptotics for the Partial Fractions of the Restricted Partition Generating Function I.” arXiv:1507.07975 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07975.
  • O’Sullivan, Cormac. “Asymptotics for the Partial Fractions of the Restricted Partition Generating Function II.” arXiv:1507.07977 [math], July 28, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.07977.
  • Engel, Benjamin. “Log-Concavity of the Overpartition Function.” arXiv:1412.4603 [math], December 15, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.4603.
  • DeSalvo, Stephen, and Igor Pak. “Log-Concavity of the Partition Function.” arXiv:1310.7982 [math], October 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1310.7982.

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'partition'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=자연수의_분할수(integer_partitions)&oldid=52447"