"타원의 넓이"의 두 판 사이의 차이
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2020년 11월 12일 (목) 03:02 기준 최신판
개요
- \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\) 로 주어진 영역의 넓이를 구하는 문제
- 넓이는 \(\pi a b\)로 주어진다
일변수 미적분학의 응용
- 적분
\[A=4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \,dx\] 의 계산
- 삼각치환을 이용할 수 있다
다변수 미적분학에서의 치환적분
- 이중적분
\[A=\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} \,dxdy\]
\(x=aX\), \(y=bY\) 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다. \[A=ab \int\int_{{X^2}+{Y^2}\leq 1} dXdY\] 따라서 면적은 \(\pi a b\). ■
그린 정리의 응용
그린 정리에서 얻어진 공식 \[A=\oint_{C} x dy = \oint_{C} - y dx =\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx\] 를 이용할 수 있다.
타원의 매개화 \(\mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\sin t), \quad 0\le t \le 2\pi \)를 이용하면, \(xy'-yx'=ab \cos^2 t+ab \sin^2 t=ab\) 를 얻고, 따라서 \[A=\frac{1}{2}\oint_{C} x dy-y dx=\pi ab\] ■