"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(같은 사용자의 중간 판 12개는 보이지 않습니다)
5번째 줄: 5번째 줄:
 
* [[클리포드 대수와 스피너|클리포드 대수]] 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다
 
* [[클리포드 대수와 스피너|클리포드 대수]] 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==텐서 공간==
 
==텐서 공간==
17번째 줄: 17번째 줄:
 
* <math>V, V^{*}</math> 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다
 
* <math>V, V^{*}</math> 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==텐서 대수 tensor algebra==
 
==텐서 대수 tensor algebra==
25번째 줄: 25번째 줄:
 
* <math>T(V)</math>
 
* <math>T(V)</math>
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==외대수 exterior algebra==
 
==외대수 exterior algebra==
35번째 줄: 35번째 줄:
 
* <math>\alpha\in  \Lambda^k(V), \beta\in  \Lambda^p(V)</math> 에 대하여 <math>\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha</math> 가 성립한다
 
* <math>\alpha\in  \Lambda^k(V), \beta\in  \Lambda^p(V)</math> 에 대하여 <math>\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha</math> 가 성립한다
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==외대수의 쌍대 공간==
 
==외대수의 쌍대 공간==
 +
* <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다
 +
:<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math>
 +
* 따라서 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
 +
* 외대수의 쌍대 공간은 [[교대 다중선형형식]]을 통해서도 이해할 수 있다
 +
:<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> 여기서 <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
  
−
* <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
 
−
* <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다:<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math><br>
 
  
−
 
+
   
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
==교대 겹선형 형식 alternating multilinear form과 외대수의 쌍대 공간==
 
−
 
 
−
* 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math>
 
−
* 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form):<math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br>
 
−
* <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V
 
−
* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math>
 
−
*  wedge product:<math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math><br> 여기서 <math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math><br>
 
−
* [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의:<math>\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math><br>
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
==역사==
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
−
* [[수학사 연표]]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
 
==메모==
 
==메모==
−
 
+
* http://mathoverflow.net/questions/54343/is-there-a-preferable-convention-for-defining-the-wedge-product
 +
* http://mathoverflow.net/questions/1684/why-is-the-exterior-algebra-so-ubiquitous
 
* [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html]
 
* [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html]
 
* http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
 
* http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
−
* http://mathoverflow.net/questions/1684/why-is-the-exterior-algebra-so-ubiquitous
 
−
 
 
  
−
 
+
 +
 
 +
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 +
* [[미분형식]]
 +
  
−
 
+
−
 
 
−
 
 
  
 
==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
  
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=exterior
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=exterior
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=multilinear
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=multilinear
  
  
−
 
+
  
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
100번째 줄: 78번째 줄:
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTk3QjV5U09pbDA/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTk3QjV5U09pbDA/edit
  
−
 
+
  
−
==사전 형태의 자료==
+
==사전 형태의 자료==
  
−
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8B%A4%EC%A4%91%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학]
+
* http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
  
−
 
+
 
 +
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* Fløystad, Gunnar. ‘The Exterior Algebra and Central Notions in Mathematics’. Notices of the American Mathematical Society 62, no. 04 (1 April 2015): 364–71. doi:10.1090/noti1234. http://www.ams.org/notices/201504/rnoti-p364.pdf
 +
 
 +
 
[[분류:선형대수학]]
 
[[분류:선형대수학]]
 
[[분류:교과목]]
 
[[분류:교과목]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1196652 Q1196652]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'exterior'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
 +
* [{'LOWER': 'grassmann'}, {'LEMMA': 'algebra'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

개요

  • \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
  • 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
  • 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다



텐서 공간

  • V : 유한차원 벡터공간
  • \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
  • \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
  • \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
  • \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다



텐서 대수 tensor algebra

  • \(T(V)\)



외대수 exterior algebra

  • 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
  • \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
  • \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다



외대수의 쌍대 공간

  • \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다

\[\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\]

  • 따라서 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
  • 외대수의 쌍대 공간은 교대 다중선형형식을 통해서도 이해할 수 있다

\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\] 여기서 \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합



메모



관련된 항목들



수학용어번역



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'exterior'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
  • [{'LOWER': 'grassmann'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=외대수(exterior_algebra)와_다중선형대수(multilinear_algebra)&oldid=52418"