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==개요==
 
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* $G$ : 유한군
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* <math>G</math> : 유한군
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* $X$ : $G$가 작용하는 유한집합
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* <math>X</math> : <math>G</math>가 작용하는 유한집합
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* $X^g=\{x\in X| gx=x\}$
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* <math>X^g=\{x\in X| gx=x\}</math>
 
* 다음이 성립한다
 
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:<math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|</math>
 
:<math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|</math>
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==응용==
 
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===3차원 유한회전군===
 
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* [[3차원 유한회전군의 분류]] 항목 참조
 
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* $G$가 $SO(3)$의 유한회전군이라 하고, 각 $g\in G,g\neq 1$의 회전축상에 놓인 구면위의 점들의 집합을 $X$라 하자. 즉 $X=\{x\in S^2|gx=x, \text{for some }g\in G,g\neq 1\}$
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* <math>G</math>가 <math>SO(3)</math>의 유한회전군이라 하고, 각 <math>g\in G,g\neq 1</math>의 회전축상에 놓인 구면위의 점들의 집합을 <math>X</math>라 하자. 즉 <math>X=\{x\in S^2|gx=x, \text{for some }g\in G,g\neq 1\}</math>
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* $g\neq 1$은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여 다음을 얻는다
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* <math>g\neq 1</math>은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여 다음을 얻는다
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$$|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}\label{burn1}$$
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:<math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}\label{burn1}</math>
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* 궤도 $C\in X/G$에 대하여, $|G_x|, x\in C$는 $x$에 의존하지 않으며, 따라서 $|G_C|:=|G_x|$는 잘 정의된다. 이 때, $|C|=|G|/|G_C|$이 성립한다
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* 궤도 <math>C\in X/G</math>에 대하여, <math>|G_x|, x\in C</math>는 <math>x</math>에 의존하지 않으며, 따라서 <math>|G_C|:=|G_x|</math>는 잘 정의된다. 이 때, <math>|C|=|G|/|G_C|</math>이 성립한다
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* $|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|$로부터 다음을 얻는다
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* <math>|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|</math>로부터 다음을 얻는다
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$$|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}\label{burn2}$$
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:<math>|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}\label{burn2}</math>
 
* \ref{burn1}과 \ref{burn2}로부터 다음을 얻는다
 
* \ref{burn1}과 \ref{burn2}로부터 다음을 얻는다
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:<math>
 
2-\frac{2}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}
 
2-\frac{2}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}
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==메모==
 
==메모==
 
* http://simomaths.wordpress.com/2013/01/13/burnsides-lemma-and-polya-enumeration-theorem-1/
 
* http://simomaths.wordpress.com/2013/01/13/burnsides-lemma-and-polya-enumeration-theorem-1/
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* http://users.wpi.edu/~bservat/strippat.pdf 
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* http://users.wpi.edu/~bservat/strippat.pdf
  
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
  
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==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
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* Neumann, Peter M., A lemma that is not Burnside's.
 
* Neumann, Peter M., A lemma that is not Burnside's.
 
[[분류:군론]]
 
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1330377 Q1330377]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'burnside'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'lemma'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

  • \(G\) : 유한군
  • \(X\) \[G\]가 작용하는 유한집합
  • \(X^g=\{x\in X| gx=x\}\)
  • 다음이 성립한다

\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|\]


응용

3차원 유한회전군

  • 3차원 유한회전군의 분류 항목 참조
  • \(G\)가 \(SO(3)\)의 유한회전군이라 하고, 각 \(g\in G,g\neq 1\)의 회전축상에 놓인 구면위의 점들의 집합을 \(X\)라 하자. 즉 \(X=\{x\in S^2|gx=x, \text{for some }g\in G,g\neq 1\}\)
  • \(g\neq 1\)은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여 다음을 얻는다

\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}\label{burn1}\]

  • 궤도 \(C\in X/G\)에 대하여, \(|G_x|, x\in C\)는 \(x\)에 의존하지 않으며, 따라서 \(|G_C|:=|G_x|\)는 잘 정의된다. 이 때, \(|C|=|G|/|G_C|\)이 성립한다
  • \(|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|\)로부터 다음을 얻는다

\[|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}\label{burn2}\]

  • \ref{burn1}과 \ref{burn2}로부터 다음을 얻는다

\[ 2-\frac{2}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|} \]


관련된 고교수학 또는 대학수학

  • 군론
    • group action


메모


관련된 항목들

사전 형태의 자료


관련논문

  • Neumann, Peter M., A lemma that is not Burnside's.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'burnside'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'lemma'}]
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