번사이드 보조정리

개요

3차원 유한회전군의 분류 항목 참조
<math>G</math>가 <math>SO(3)</math>의 유한회전군이라 하고, 각 <math>g\in G,g\neq 1</math>의 회전축상에 놓인 구면위의 점들의 집합을 <math>X</math>라 하자. 즉 <math>X=\{x\in S^2|gx=x, \text{for some }g\in G,g\neq 1\}</math>
<math>g\neq 1</math>은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여 다음을 얻는다

<math>|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}\label{burn1}</math>

궤도 <math>C\in X/G</math>에 대하여, <math>|G_x|, x\in C</math>는 <math>x</math>에 의존하지 않으며, 따라서 <math>|G_C|:=|G_x|</math>는 잘 정의된다. 이 때, <math>|C|=|G|/|G_C|</math>이 성립한다
<math>|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|</math>로부터 다음을 얻는다

<math>|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}\label{burn2}</math>

<math>

2-\frac{2}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|} </math>