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* <math>U_{q}(\mathfrak{g})</math> : Kac-Moody 대수의 UEA <math>U(\mathfrak{g})</math> 의 deformation
 
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* 호프 대수 (Hopf algebra)의 구조를 가짐
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* 양자군의 예
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* <math>A=(a_{ij})_{i,j\in I}</math> symmetrizable GCM<br>
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** <math>D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}</math> diagonal matrix s.t. DA is symmetric
 
** <math>D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}</math> diagonal matrix s.t. DA is symmetric
 
* <math>P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})</math> : dual weight lattice
 
* <math>P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})</math> : dual weight lattice
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* <math>\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}</math> : simple coroots
 
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* <math>\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_ {ji}\}</math> : simple roots
 
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* <math>s_{i}=\frac{(\alpha_{i}|\alpha_{i})}{2}\in \mathbb{Z}_{>0}</math>
 
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*  정수 n에 대하여 다음과 같이 정의:<math>[n]_{q_i} =\frac{q_ {i}^{n}-q_ {i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} </math>:<math>[0]_{q_i} =1</math>:<math>[n]_{q_i}!=[n]_ {q_i}[n]_ {q_i}\cdots [n]_{q_i}</math>:<math>{m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}</math>
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* 생성원 <math>e_i,f_i , (i\in I)</math>, <math>q^{h} (h\in P^{\vee})</math>
 
* 생성원 <math>e_i,f_i , (i\in I)</math>, <math>q^{h} (h\in P^{\vee})</math>
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*  comultiplication <br><math>\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})</math><br><math>\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}</math><br><math>\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i^{-1}+1\otimes e_i</math><br><math>\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i\otimes f_i</math><br>
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* http://mathoverflow.net/questions/92046/quantum-group-uqsl2
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* <math>[a,b]=\lambda b</math> 이면, <math>q^a b q^{-a}=q^{\lambda} b</math>
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* counit<br><math>\epsilon(q^{h}) =1</math><br><math>\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0</math><br>
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* [[베이커-캠벨-하우스도르프 공식]] 참조
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*  antipode<br><math>S(q^h) = q^{-h}</math> for <math>x \in \mathfrak{g}</math><br><math>S(e_i) =-e_ik_i, S(f_i)=-k_i^{-1}f_i</math><br>
 
  
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==역사==
 
==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
 
   
 
   
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[양자군]]
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* [[호프 대수(Hopf algebra)]]
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==수학용어번역==
 
  
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*  단어사전<br>
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==사전 형태의 자료==
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** http://translate.google.com/#en|ko|
 
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** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
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* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기]
 
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
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==사전 형태의 자료==
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_group
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_group
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_affine_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_affine_algebra
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* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
 
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* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2122223 Q2122223]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'quantum'}, {'LEMMA': 'group'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:52 기준 최신판

개요

  • \(U_{q}(\mathfrak{g})\) : Kac-Moody 대수의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 의 deformation
  • 호프 대수(Hopf algebra)의 구조를 가짐
  • 양자군 (quantum group)의 예


Cartan datum

  • Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
  • \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) symmetrizable GCM
    • \(D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}\) diagonal matrix s.t. DA is symmetric
  • \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
  • \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
  • \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
  • \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
  • \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_ {ji}\}\) : simple roots
  • \((\cdot|\cdot)\) symmetric bilinear form on \(\mathfrak{g}^{*}\)
  • \(s_{i}=\frac{(\alpha_{i}|\alpha_{i})}{2}\in \mathbb{Z}_{>0}\)
  • q: indeterminate
  • \(q_i=q^{s_{i}}\)
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)


정수의 q-analogue

  • 정수 n에 대하여 다음과 같이 정의\[[n]_{q_i} =\frac{q_ {i}^{n}-q_ {i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} \]\[[0]_{q_i} =1\]\[[n]_{q_i}!=[n]_ {q_i}[n]_ {q_i}\cdots [n]_{q_i}\]\[{m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}\]
  • 극한 \(q \to 1\)


quantized universal enveloping algebra \(U_{q}(\mathfrak{g})\)

  • 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(q^{h} (h\in P^{\vee})\)
  • 관계식
    • \(q^0=1\)
    • \(q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}\)
    • \(e_if _j-f_je _i=\delta_{i,j}\frac{k_i-k_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}\) 여기서 \(k_{i}=q^{h_is _i}\)
    • \(q^he_jq^{-h}=q^{\alpha_j(h)}e_j\)
    • \(q^hf_jq^{-h}=q^{-\alpha_j(h)}f_j\)
    • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}e_ {i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_ {i}^k=0\) (\(i \neq j\))
    • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}f_ {i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_ {i}^k=0\) (\(i \neq j\))



호프 대수 구조

  • comultiplication

\[\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})\] \[\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}\] \[\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i+1\otimes e_i\] \[\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i^{-1}\otimes f_i\]

  • counit

\[\epsilon(q^{h}) =1\] \[\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0\]

  • antipode

\[S(q^h) = q^{-h}\] for \(x \in \mathfrak{g}\) \[S(e_i) =-e_ik_i^{-1}, S(f_i)=-k_if_i\]


극한 \(q \to 1\)


역사



메모



관련된 항목들


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'quantum'}, {'LEMMA': 'group'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Quantized_universal_enveloping_algebra&oldid=52156"