격자의 지겔 세타 급수

개요

• 격자의 세타함수의 일반화
• 지겔 모듈라 형식의 예
• 자연수 \(g\)와 격자 \(\Lambda\)에 대하여 정의되는 해석함수 \(\Theta_\Lambda^{(g)}:\mathcal{H}_g\to \mathbb{C}\)
• 여기서 \(\mathcal{H}_g\)은 지겔 상반 공간

\[ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} \]

• 격자의 세타함수는 \(g=1\)인 경우에 해당

기호

• \(\Lambda\subset \mathbb{R}^n\) \(n\)차원 격자
• \(M\)는 각 행이 \(\Lambda\)의 기저가 되는 \(n\times n\) 행렬
• \(A:=M^tM\)는 \(\Lambda\)의 그램 행렬

g가 1인 경우

• 격자 \(\Lambda\)에 대하여, \(N_m\)를 \(\{x\in\Lambda|x\cdot x=m\}\)의 원소의 개수로 정의
• \(N_m\)는 \(\zeta A \zeta^{t} =m\)를 만족하는 정수벡터 \(\zeta\)의 개수로 이해할 수 있다
• 다시 말해, \(\Lambda\)에 의해 얻어지는 이차형식이 정수 \(m\)을 표현하는 방법의 수이다
• \(\Lambda\)의 세타함수는 복소상반평면 \(\mathcal{H}_1\)을 정의역으로 하는 다음과 같은 함수가 된다

\[ \Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}q^{\frac{x\cdot x}{2}}=\sum_{m=0}^\infty N_mq^{m/2}, \] 여기서 \(q=e^{2\pi i \tau}\)이고, \(\tau\in\mathcal{H}_1\).

예

• \(\mathbb{Z}\)의 세타함수는 자코비 세타함수로 다음과 같다

\[\Theta_{\mathbb{Z}}(\tau)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{m^2/2}=1+2q^{1/2}+2q^{4/2}+2q^{9/2}+\cdots\equiv\theta[{}_0^0](\tau)\]

일반적인 자연수 g에 대한 세타함수의 일반화

• 자연수 \(g\), (리만곡면의 genus에서 g가 온 것이다)
• \(\underline{\zeta}\)를 정수계수를 갖는 \(g\times n\) 행렬
• \(\underline{x}\)는 각 행이 격자 \(\Lambda\)의 원소가 되는 \(g\times n\) 행렬이라 하자
• 주어진 \(\underline{x}\)는 적당한 \(\underline{\zeta}\)에 대하여 \(\underline{x}=\underline{\zeta}M\)꼴로 쓰여진다
• 이제 각각의 정수계수 \(g\times g\) 행렬 \(\underline{m}\)에 대하여, \(N_{\underline{m}}\in\mathbb{Z}\)를 다음 방정식의 해의 개수로 정의하자

\[ \underline{\zeta} A \underline{\zeta}^t =\underline{m}, \]

• \(\underline{m}\)의 성분 \(m_{i,j}\)는 \(\underline{x}\)의 두 행 \(x_i,x_j\in\Lambda\) 사이의 내적이다
• 따라서 \(N_{\underline{m}}\)는 \(x_i\cdot x_j=m_{ij}\)를 만족하는 \(\underline{x}=(x_i)\)의 개수이다
  • \(N_{\underline{m}}\)은 \(\underline{m}\)에 대응되는 이차형식을 \(\Lambda\)에 대응되는 이차형식으로 표현하는 방법의 개수로 이해할 수 있다
• \(\Lambda\)에 대한 genus \(g\) 세타함수는 지겔 상반 공간 \(\mathcal{H}_g\)에 정의되는 다음과 같은 해석함수이다

\[ \begin{align} \Theta_\Lambda^{(g)}(\tau)&=\sum_{\underline{x}\in\Lambda^{(g)}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{x}\cdot \underline{x} \tau)}\\ &=\sum_{\underline{\zeta}\in\mathbb{Z}^{g,n}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{\zeta} A \underline{\zeta}^{t}\tau)}\\ &=\sum_{\underline{m}} N_{\underline{m}}\prod_{i\leq j}e^{\pi i m_{ij}\tau_{ij}}, \end{align} \]

• 마지막 등식에서는 행렬의 대각합 (trace)의 성질이 사용되었다
• 짝수 자기쌍대 격자의 세타함수는 \(\Gamma_g\)에 대하여 weight \(\frac{n}{2}\)인 지겔 모듈라 형식
• 홀수 자기쌍대 격자는 \(\Gamma_g(1,2)\)에 대하여 weight \(\frac{n}{2}\)인 지겔 모듈라 형식
• 여기서

\begin{align*} & \Gamma_g:={\rm Sp}(2g,\mathbb{Z}), \qquad \Gamma_g(2):=\{ M\in \Gamma_g \mid M=\mathbb{I}\ {\rm mod} 2 \} \\ & \Gamma_g (1,2) :=\{ M=\left(^A_C{}^B_D \right) \in \Gamma_g (2) \mid \ A B^{t} ={\rm diag} C\ D^{t} =0 \ {\rm mod} 2 \}. \end{align*}

관련된 항목들

• 지겔-베유 공식
• 격자의 세타함수
• 16차원 짝수 자기쌍대 격자
• 24차원 짝수 자기쌍대 격자

관련논문

• Giulio Codogni, Hyperelliptic Schottky Problem and Stable Modular Forms, arXiv:1306.1183 [math.AG], June 05 2013, http://arxiv.org/abs/1306.1183, Documenta Math. 21 (2016) 445--466
• Giulio Codogni, Hyperelliptic Schottky Problem and Stable Modular Forms, arXiv:1306.1183 [math.AG], June 05 2013, http://arxiv.org/abs/1306.1183
• Schulze-Pillot, Rainer. “Some Congruences for Siegel Theta Series.” arXiv:1412.7473 [math], December 23, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.7473.
• Piazza, Francesco Dalla, Davide Girola, and Sergio L. Cacciatori. 2010. “Classical Theta Constants vs. Lattice Theta Series, and Super String Partition Functions.” Journal of High Energy Physics 2010 (11): 1–24. doi:10.1007/JHEP11(2010)082.

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdjZMcXJPZi12R2M/edit