"상수계수 이계미분방정식의 응용사례 - 물리학"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
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상수계수 이계미분방정식은 물리학이나 공학 등 여러 학문에서 자연을 기술하는 단순한 모델에서 자주 등장한다. 이 문서에서는 상수계수 이계미분방정식이 물리학에서 등장하는 대표적인 사례들을 알아보고 이들의 해법과 그 물리학적 의미를 제시한다.
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# 단순조화진동자 1-(1) 단순조화진동자의 정의      <em class="underline">단순조화진동자(Simple Harmonic Oscillator; SHO)란 질량을 무시할 수 있는 용수철(탄성계수는 <math>k</math>), 용수철에 달릴 질량이 <math>m</math> 인 추로 이루어진 물리계를 의미</em>한다. 이 때, 용수철의 한쪽 끝은 한 점에 고정되어 있으며 반대쪽 끝에 <math>m</math> 이 달려있어야 한다. 1-(2) 단순조화진동자의 운동방정식 수립과정 및 풀이      이제 <math>m</math> 이 외력에 의해 평형위치에서 벗어나 있는 상황을 생각한다. 평형위치에서 <math>m</math>(고전역학을 비롯한 물리학의 여러 범주에서 어떤 사물을 부를 때 단순히 그 물체의 질량을 말하는 것으로 대신하는 경우가 관습적으로 매우 빈번하다)까지의 거리를 <math>x</math> 라 하자. (편의상 0" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=x%3E0"> 인 좌표계를 설정한다.) 이러한 상황에서 뉴턴의 운동 제 2 법칙과 함께 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같은 상수계수 이계미분방정식을 얻는다.<math>m \ddot{x} = -kx</math> (식 1)      식을 조금 정리하여 미분 횟수에 대한 내림차순 정렬을 하면 기본적인 상수계수 이계미분방정식의 형태를 얻을 수 있다.<math>\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0</math> (식 2) 일반적인 동차(homogeneous) 상수계수 이계미분방정식의 형태를 <math>a \ddot{x} + b \dot{x} + cx = 0</math> 으로 나타낸다면 <math>a=1 , b = 0 , c = \frac{k}{m}</math> 인 경우에 해당함을 쉽게 알 수 있다.<em class="underline">수학적인 엄밀한 해법은 다른 노트에서도 쉽게 찾아볼 수 있을 것이므로, 이 문서에서는 직관적인 수준에서 추론과 예상을 바탕으로 문제를 해결하는 과정을 소개하고자 한다.</em> 주어진 미분방정식의 의미를 곱씹어보면 해법에 대한 직관적인 시각을 갖출 수 있다. 우선 <math>\ddot{x} = - \frac{k}{m} x</math> 라고 하는 것은 가속도(곡률)의 부호가 항상 변위부호의 반대임을 의미한다. 이를 다시 말하면 0" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=x%3E0"> 일 때는 항상 <math>\ddot{x}<0</math> 이라서 물체가 항상 제자리에 돌아오려고 한다는 뜻이다. 따라서 우리는 이를 힌트로 삼아 이와 같은 성질을 만족하는 함수들 가운데에서 이 미분방정식의 해를 찾을 수 있을 것임을 알 수 있다. 또한 이 미분방정식의 해가 가져야 할 미분가능성에 대해 생각해보면 이 방정식의 해는 smooth 해야 할 것이다. 다행스럽게도 초등실함수들 가운데 이와 같은 성질을 만족하는 함수가 존재한다! 바로 삼각함수이다. 따라서 우리는 삼각함수를 시험해로 삼아 시행착오를 거치면(계수들을 조정하는 과정을 거치면) 해를 얻게 된다.<math>x(t) = x(0) \cos{ \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t + \delta \right)}</math>
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# 단진자의 운동
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# 저항력이 있을 때의 조화진동
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# 전기진동
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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* [[단진자의 주기와 타원적분]]
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* [[상수계수 이계 선형미분방정식]]
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==수학용어번역==
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*  단어사전
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** http://translate.google.com/#en|ko|
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** http://ko.wiktionary.org/wiki/
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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==관련논문==
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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==관련도서==
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*  도서내검색
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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[[분류:migrate]]

2020년 12월 28일 (월) 04:20 기준 최신판

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개요

상수계수 이계미분방정식은 물리학이나 공학 등 여러 학문에서 자연을 기술하는 단순한 모델에서 자주 등장한다. 이 문서에서는 상수계수 이계미분방정식이 물리학에서 등장하는 대표적인 사례들을 알아보고 이들의 해법과 그 물리학적 의미를 제시한다.


  1. 단순조화진동자 1-(1) 단순조화진동자의 정의 단순조화진동자(Simple Harmonic Oscillator; SHO)란 질량을 무시할 수 있는 용수철(탄성계수는 \(k\)), 용수철에 달릴 질량이 \(m\) 인 추로 이루어진 물리계를 의미한다. 이 때, 용수철의 한쪽 끝은 한 점에 고정되어 있으며 반대쪽 끝에 \(m\) 이 달려있어야 한다. 1-(2) 단순조화진동자의 운동방정식 수립과정 및 풀이 이제 \(m\) 이 외력에 의해 평형위치에서 벗어나 있는 상황을 생각한다. 평형위치에서 \(m\)(고전역학을 비롯한 물리학의 여러 범주에서 어떤 사물을 부를 때 단순히 그 물체의 질량을 말하는 것으로 대신하는 경우가 관습적으로 매우 빈번하다)까지의 거리를 \(x\) 라 하자. (편의상 0" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=x%3E0"> 인 좌표계를 설정한다.) 이러한 상황에서 뉴턴의 운동 제 2 법칙과 함께 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같은 상수계수 이계미분방정식을 얻는다.\(m \ddot{x} = -kx\) (식 1) 식을 조금 정리하여 미분 횟수에 대한 내림차순 정렬을 하면 기본적인 상수계수 이계미분방정식의 형태를 얻을 수 있다.\(\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0\) (식 2) 일반적인 동차(homogeneous) 상수계수 이계미분방정식의 형태를 \(a \ddot{x} + b \dot{x} + cx = 0\) 으로 나타낸다면 \(a=1 , b = 0 , c = \frac{k}{m}\) 인 경우에 해당함을 쉽게 알 수 있다.수학적인 엄밀한 해법은 다른 노트에서도 쉽게 찾아볼 수 있을 것이므로, 이 문서에서는 직관적인 수준에서 추론과 예상을 바탕으로 문제를 해결하는 과정을 소개하고자 한다. 주어진 미분방정식의 의미를 곱씹어보면 해법에 대한 직관적인 시각을 갖출 수 있다. 우선 \(\ddot{x} = - \frac{k}{m} x\) 라고 하는 것은 가속도(곡률)의 부호가 항상 변위부호의 반대임을 의미한다. 이를 다시 말하면 0" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=x%3E0"> 일 때는 항상 \(\ddot{x}<0\) 이라서 물체가 항상 제자리에 돌아오려고 한다는 뜻이다. 따라서 우리는 이를 힌트로 삼아 이와 같은 성질을 만족하는 함수들 가운데에서 이 미분방정식의 해를 찾을 수 있을 것임을 알 수 있다. 또한 이 미분방정식의 해가 가져야 할 미분가능성에 대해 생각해보면 이 방정식의 해는 smooth 해야 할 것이다. 다행스럽게도 초등실함수들 가운데 이와 같은 성질을 만족하는 함수가 존재한다! 바로 삼각함수이다. 따라서 우리는 삼각함수를 시험해로 삼아 시행착오를 거치면(계수들을 조정하는 과정을 거치면) 해를 얻게 된다.\(x(t) = x(0) \cos{ \left( \sqrt{\frac{k}{m}}t + \delta \right)}\)
  2. 단진자의 운동
  3. 저항력이 있을 때의 조화진동
  4. 전기진동


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