"근의 공식과 라그랑지 resolvent"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
 
(사용자 2명의 중간 판 16개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
* [[라그랑지 resolvent]] 의 아이디어를 사용하여 [[3차 방정식의 근의 공식]] 을 유도할 수 있음
 +
 +
 +
 +
==3차 방정식의 근의 공식==
 +
 +
*  방정식 <math>t^3+p t+q=0</math> 의 해를 <math>x,y,z</math>라 하자
 +
* <math>\omega </math> 는 <math>\omega ^2+\omega +1=0</math> 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
 +
* <math>u</math>와 <math>v</math>를 다음과 같이 정의하자
 +
:<math>u=\left(x+\omega  y+\omega ^2 z\right)^3</math>
 +
:<math>v=\left(x+\omega ^2 y+\omega  z\right)^3</math>
 +
* 다음이 성립한다
 +
:<math>u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q</math>:<math>uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3</math>
 +
*  따라서 <math>u,v</math>는 방정식 <math>x^2+27q x-27 p^3=0</math>의 해가 되며, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다
 +
:<math> \left\{ \begin{array}{c} u=\frac{3}{2} \left(-9 q-\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \\ v =\frac{3}{2} \left(-9 q+\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \end{array} \right.
 +
</math>
 +
* <math>x,y,z</math>는 다음 선형연립방정식의 해이므로, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다
 +
:<math> \left\{ \begin{array}{c} x+ y+z & =& 0 \\ x+\omega  y+\omega ^2 z&=&\sqrt[3]{u} \\ x+\omega^2 y+\omega z&=&\sqrt[3]{v} \end{array} \right. </math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==메모==
 +
 +
 +
 +
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
* [[라그랑지 resolvent]]
 +
* [[3차 방정식의 근의 공식]]
 +
 +
 +
 +
 +
==수학용어번역==
 +
* {{학술용어집|url=resolvent}}
 +
*  단어사전
 +
** [http://translate.google.com/#en%7Cko%7Cresolvent http://translate.google.com/#en|ko|resolvent]
 +
** [http://ko.wiktionary.org/wiki/%EC%97%AD%ED%95%B5 http://ko.wiktionary.org/wiki/역핵]
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZWp2TUlVLUZ3UDQ/edit
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
[[분류:방정식과 근의 공식]]
 +
[[분류:추상대수학]]

2020년 12월 28일 (월) 02:09 기준 최신판

개요


3차 방정식의 근의 공식

  • 방정식 \(t^3+p t+q=0\) 의 해를 \(x,y,z\)라 하자
  • \(\omega \) 는 \(\omega ^2+\omega +1=0\) 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
  • \(u\)와 \(v\)를 다음과 같이 정의하자

\[u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3\] \[v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3\]

  • 다음이 성립한다

\[u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q\]\[uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3\]

  • 따라서 \(u,v\)는 방정식 \(x^2+27q x-27 p^3=0\)의 해가 되며, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다

\[ \left\{ \begin{array}{c} u=\frac{3}{2} \left(-9 q-\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \\ v =\frac{3}{2} \left(-9 q+\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \end{array} \right. \]

  • \(x,y,z\)는 다음 선형연립방정식의 해이므로, \(p,q\) 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다

\[ \left\{ \begin{array}{c} x+ y+z & =& 0 \\ x+\omega y+\omega ^2 z&=&\sqrt[3]{u} \\ x+\omega^2 y+\omega z&=&\sqrt[3]{v} \end{array} \right. \]





메모



관련된 항목들



수학용어번역



매스매티카 파일 및 계산 리소스

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=근의_공식과_라그랑지_resolvent&oldid=47911"