근의 공식과 라그랑지 resolvent
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개요
- 라그랑지 resolvent 의 아이디어를 사용하여 3차 방정식의 근의 공식 을 유도할 수 있음
3차 방정식의 근의 공식
- 방정식 <math>t^3+p t+q=0</math> 의 해를 <math>x,y,z</math>라 하자
- <math>\omega </math> 는 <math>\omega ^2+\omega +1=0</math> 를 만족시키는 primitive root of unity 이다
- <math>u</math>와 <math>v</math>를 다음과 같이 정의하자
- <math>u=\left(x+\omega y+\omega ^2 z\right)^3</math>
- <math>v=\left(x+\omega ^2 y+\omega z\right)^3</math>
- 다음이 성립한다
- <math>u+v=27 x y z+2 (x+y+z)^3-9 (x+y+z) (x y+x z+y z)=-27 q</math>:<math>uv=(x+y+z)^6-9 (x+y+z)^4 (x y+x z+y z)+27 (x+y+z)^2 (x y+x z+y z)^2-27 (x y+x z+y z)^3=-27 p^3</math>
- 따라서 <math>u,v</math>는 방정식 <math>x^2+27q x-27 p^3=0</math>의 해가 되며, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있다
- <math> \left\{ \begin{array}{c} u=\frac{3}{2} \left(-9 q-\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \\ v =\frac{3}{2} \left(-9 q+\sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2}\right) \end{array} \right.
</math>
- <math>x,y,z</math>는 다음 선형연립방정식의 해이므로, <math>p,q</math> 와 근호를 사용하여 표현할 수 있게 된다
- <math> \left\{ \begin{array}{c} x+ y+z & =& 0 \\ x+\omega y+\omega ^2 z&=&\sqrt[3]{u} \\ x+\omega^2 y+\omega z&=&\sqrt[3]{v} \end{array} \right. </math>
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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수학용어번역
- resolvent - 대한수학회 수학용어집
- 단어사전