"미분형식과 맥스웰 방정식"의 두 판 사이의 차이

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* <math>(A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})</math><br><math>\phi</math> 스칼라 포텐셜<br><math>\mathbf{A}</math> 벡터 포텐셜<br>
 
* <math>(A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})</math><br><math>\phi</math> 스칼라 포텐셜<br><math>\mathbf{A}</math> 벡터 포텐셜<br>
 
* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>
 
* 1-미분형식으로서, <math>A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}</math>
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* <math>\mathbf{F}=dA</math> 로부터 <math>\mathrm{d}\, {\bold{F}}=0</math> 를 얻는다
  
 
 
 
 
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* this is necessary for Maxwell equations with sources
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* describes the distribution and motion of charged particles
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* charge density <math>{\rho} </math> (for point charge, density will be a Dirac delta function)
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* current density <math>\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)</math>
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*  charge density and current density<br><math>J^a = \left(c \rho, \mathbf{J} \right)</math><br>
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*  four vector is called a conserved current if <math>\partial_{a}J^{a}=0</math><br>
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*  in covariant formulation,<br>
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**  1-form<br><math>J=\rho dx\wedge dy \wedge dz - J_{z}dx\wedge dy \wedge dt -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt</math><br>
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*   <br><math>J=\rho dx\wedge dy \wedge dz - J_{z}dx\wedge dy \wedge dt -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt</math><br>
  
 
 
 
 

2012년 4월 19일 (목) 08:10 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • electromagnetic field strength
    \(F=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)\)
  • 다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음
    \(F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}\)
    \(F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1\)
  • 맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
  • 이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다
  • \(F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F\)

 

 

 

four 벡터 포텐셜 1-form
  • \((A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})\)
    \(\phi\) 스칼라 포텐셜
    \(\mathbf{A}\) 벡터 포텐셜
  • 1-미분형식으로서, \(A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}\)
  • \(\mathbf{F}=dA\) 로부터 \(\mathrm{d}\, {\bold{F}}=0\) 를 얻는다

 

 

 

Hodge star 연산자

\(\star dx dy =-dzdt\)

\(\star dy dz =-dxdt\)

\(\star dz dx =-dydt\)

\(\star dx dt =dydz\)

\(\star dy dt =dzdx\)

\(\star dz dt=dxdy\)

 

 

current
  • this is necessary for Maxwell equations with sources
  • describes the distribution and motion of charged particles
  • charge density \({\rho} \) (for point charge, density will be a Dirac delta function)
  • current density \(\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)\)
  • charge density and current density
    \(J^a = \left(c \rho, \mathbf{J} \right)\)
  • four vector is called a conserved current if \(\partial_{a}J^{a}=0\)
  • in covariant formulation,
    • 1-form
      \(J=\rho dx\wedge dy \wedge dz - J_{z}dx\wedge dy \wedge dt -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt\)
  •  
    \(J=\rho dx\wedge dy \wedge dz - J_{z}dx\wedge dy \wedge dt -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt\)

 

 

 

맥스웰 방정식
  • 맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다
    \(\mathrm{d}\, {\bold{F}}=0\) (\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\))
    \(\mathrm{d}\, {*\bold{F}}=\bold{J}\) (\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\),  \(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \))

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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