베버(Weber) 모듈라 함수

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• 베버(Weber) 모듈라 함수
  

 

 

개요

• 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
  
• class field theory에서 중요한 역할
  
• 정의
  \(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)
  \(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)
  \(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)
  여기서  \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 는 데데킨트 에타함수
  

 

 

항등식

• \(\mathfrak{f}_1(2\tau)\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt2\)
  
• \(\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_1(\tau)\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt2\)
  
• \(\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_1(\tau)^8+\mathfrak{f}_2(\tau)^8\)
  

 

 

모듈라 성질

• \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_1(\tau)\)
  
• \(\mathfrak{f}_1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
  
• \(\mathfrak{f}_2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_2(\tau)\)
  
• \(\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)\)
  
• \(\mathfrak{f}_1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_2(\tau)\)
  
• \(\mathfrak{f}_2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_1(\tau)\)
  

 

 

j-invariant 와의 관계

• \(\mathfrak{f}(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_1(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}\)는 \((x-16)^3-j(\tau)x=0\) 의 근이다

 

 

 

 

 

q-초기하급수와의 관계

• q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 공식
  \(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)
  \(z=q^{1/2}\) 인 경우
  \(\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} \)
  \(\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} \)
  \(z=q\) 인 경우
  \(\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
  
• 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다
  \(\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}\)
  \(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
  

 

 

재미있는 사실

 

• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 라마누잔의 class invariants
  
• 데데킨트 에타함수
  
• 로저스-라마누잔 연분수와 항등식
  
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)
  
• 자코비 세타함수
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• Weber's class invariants revisited
  
  • [1]Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343 
• On The Singular Values Of Weber Modular Functions
  
  • Noriko Yui ,  Don Zagier, Math. Comp. 66 (1997), 1645-1662
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=

 

 

관련도서 및 추천도서

•  
  
• 베버의 책
  
  • Elliptische functionen und algebraische zahlen (1891). available in print
  • Lehrbuch der Algebra (Volume 1) (1898). available in print
  • Lehrbuch der Algebra (Volume 2) (1898). available in print
  • Lehrbuch der Algebra (Volume 3) (1898). available in print
  • Theorie der Abelschen Functionen vom Geschlecht 3 (1876). available in print

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관련기사

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