"산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산"의 두 판 사이의 차이

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* AGM을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
 
* AGM을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 적분]] 에서, 다음과 같은 사실을 알 수 있음
 
  
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<math>\frac{\pi }{\omega}=1.1981402347\cdots=AGM(1,\sqrt{2})</math>
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<h5>타원적분</h5>
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<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math>
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<math>\frac{\omega}{2} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\ dt = 1.31102877714605...</math>
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<math>E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{</math>
  
 
 
 
 
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한편, <math>a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}</math>,  <math>b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}</math> , <math>a_0=1</math>, <math>b_0=\frac{1}{\sqrt{2}}</math> , <math>c_0 =\frac{1}{\sqrt{2}}</math>, <math>c_{i+1} = a_i - a_{i+1}</math> 로 정의된 수열에 대하여
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한편, <math>a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}</math>,  <math>b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}</math> , <math>a_0=1</math>, <math>b_0=\sqrt{1-k^2}</math> ,  <math>c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}</math> 로 정의된 수열에 대하여, 타원적분은 다음과 같은 관계를 만족시킴.
  
 
 
 
 
  
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<math>\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2  = 1 - \frac{E}{K}</math>
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<math>\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2  = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}</math>
  
 
 
 
 
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2009년 3월 28일 (토) 11:12 판

간단한 소개
  • AGM을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘

 

타원적분

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

 

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식

For \(\phi\!\) and \(\theta\!\) such that \(\phi+\theta={1 \over 2}\pi\!\)

 

\[K(\sin \phi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \phi) - K(\sin \phi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!\]

 

 

 

타원적분과 AGM의 관계

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

 

한편, \(a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) , \(a_0=1\), \(b_0=\sqrt{1-k^2}\) ,  \(c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}\) 로 정의된 수열에 대하여, 타원적분은 다음과 같은 관계를 만족시킴.

 

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

 

 

가우스-살라민 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1341696 Salamin.jpg]

  •  

 

 

 

 

또다른 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1332480 piagm.JPG]

 

  • 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

\(\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772\)
\(\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645\)
\(\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675\)
\(\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666\)
\(\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751\)

  • 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
  • 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산
  •  
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

 

위키링크

 

참고할만한 자료
  • Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean (pdf)
    • E. Salamin
    • Mathematics of Computation 30(1976) 565-570
  • Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation
    • R. P. Brent
    • Analytic Computational Complexity (edited by J. F. Traub), Academic Press, New York, 1975, 151–176
  • The arithmetic-geometric mean of Gauss (pdf)
    • D.A. Cox
    • UEnseignement Math. 30 (1984) 275-330
  • Gauss and the arithmetic-geometric mean
    • D.A. Cox
    • Notices Amer. Math. Soc. 32(2) (1985) 147-151
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