"산술 기하 평균을 이용한 원주율의 계산"의 두 판 사이의 차이

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<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
 
<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
  
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<math>K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}</math>
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특별히, <math>K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}</math>
  
 
 
 
 
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x_0=\sqrt{2}<br> pi_[0]=2+\sqrt{2}}\\<br> \pmb{y[1]=\sqrt[4]{2}}\\<br> \pmb{x_n=\frac{1}{2}(\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_n}})}\\<br> \pmb{y_n=\frac{y[n-1]\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}}{y_n+1}}\\<br> \pmb{p_n=}p[n-1]\frac{x[n]+1}{y[n]+1}}\)<br><br><br> \end{document}
  
 
 
 
 

2009년 3월 29일 (일) 14:38 판

간단한 소개
  • AGM을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 알고리즘

 

타원적분

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)

 

\(E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}d\theta}{\)

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식

For \(\phi\!\) and \(\theta\!\) such that \(\phi+\theta={1 \over 2}\pi\!\)

 

\[K(\sin \phi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \phi) - K(\sin \phi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!\]

 

특별히 다음과 같은 관계가 성립함

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

 

 

타원적분과 AGM의 관계

란덴변환(Landen's transformation) 에 의해 다음이 성립함.

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

특별히, \(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

 

한편, \(a_{n+1}={a_n+b_n \over 2}\),  \(b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}\) , \(a_0=1\), \(b_0=\sqrt{1-k^2}\) ,  \(c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}\) 로 정의된 수열에 대하여, 타원적분은 다음과 같은 관계를 만족시킴.

 

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

 

 

가우스-살라민 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1341696 Salamin.jpg]

(증명)

\(2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}\)

\(K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}\)

 

\(\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E(k)}{K(k)}\)

를 결합하여 증명가능.

 

 

 

 

또다른 알고리즘

[/pages/1939326/attachments/1332480 piagm.JPG]

x_0=\sqrt{2}
pi_[0]=2+\sqrt{2}}\\
\pmb{y[1]=\sqrt[4]{2}}\\
\pmb{x_n=\frac{1}{2}(\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_n}})}\\
\pmb{y_n=\frac{y[n-1]\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}}{y_n+1}}\\
\pmb{p_n=}p[n-1]\frac{x[n]+1}{y[n]+1}}\)


\end{document}

 

  • 위에 정의된 수열 \(\pi_n\)은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 다섯번째 항까지 계산한 결과.

\(\pi_1=3.1426067539416226007907198236183018919713562462772\)
\(\pi_2=3.1415926609660442304977522351203396906792842568645\)
\(\pi_3=3.1415926535897932386457739917571417940347896238675\)
\(\pi_4=3.1415926535897932384626433832795028841972241204666\)
\(\pi_5=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751\)

  • 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
  • 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

 

위키링크

 

참고할만한 자료
  • Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean (pdf)
    • E. Salamin
    • Mathematics of Computation 30(1976) 565-570
  • Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation
    • R. P. Brent
    • Analytic Computational Complexity (edited by J. F. Traub), Academic Press, New York, 1975, 151–176
  • The arithmetic-geometric mean of Gauss (pdf)
    • D.A. Cox
    • UEnseignement Math. 30 (1984) 275-330
  • Gauss and the arithmetic-geometric mean
    • D.A. Cox
    • Notices Amer. Math. Soc. 32(2) (1985) 147-151
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