"5차방정식과 근의 공식"의 두 판 사이의 차이

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*  기본체 <math>F=R_0</math><br>
 
*  기본체 <math>F=R_0</math><br>
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*  적당한 원소 <math>a_0 \in F</math>와 자연수 <math>n_0</math>에 대하여, n-제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 넣어 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br>
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*  적당한 원소 <math>a_0 \in F</math>와 소수 <math>n_0</math>에 대하여, n-제곱근 <math>\sqrt[n_0]a</math> 를 넣어 얻어지는 체확장 <math>R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)</math><br>
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*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 자연수 <math>n_1</math>에 대하여, n-제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 넣어 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
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*  적당한 원소 <math>a_1\in R_1</math>와 소수 <math>n_1</math>에 대하여, n-제곱근 <math>\sqrt[n_1]a_1</math> 를 넣어 얻어지는 체확장 <math>R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)</math><br>
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*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 radical 체확장이라 하며, <br>
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*  이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 <math>F=R_0</math>의 체확장 <math>R</math> 을 radical 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.<br>
  
 
 
 
 
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정리 3.
 
정리 3.
  
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위에서 얻어진 체확장 <math>R</math>, 즉 <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. 
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<math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 인  F의 radical 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. 
  
 
 
 
 
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(증명)
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체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
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 <math>F</math>의 radical 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 위의 조건을 만족시킨다고 하자. 
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적당한 소수 p 에 대하여 의 radical 체확장 <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math> 인 간단한 경우에 대하여 생각해보자.
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정리 0을 사용하여, 
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2010년 1월 31일 (일) 20:13 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

증명의 개요
  • We start from the field of symmetric functions.
  • Essentially, we are studying the radical extension of that base field.
  • The proof is consisted of two steps.
  • radicals to express the quintic formula can be expressed in terms of roots
  • the behavior of radicals under permutations

 

 

 

 

radical 체확장
  • 기본체 \(F=R_0\)
  • 적당한 원소 \(a_0 \in F\)와 소수 \(n_0\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_0]a\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)\)
  • 적당한 원소 \(a_1\in R_1\)와 소수 \(n_1\)에 대하여, n-제곱근 \(\sqrt[n_1]a_1\) 를 넣어 얻어지는 체확장 \(R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)\)
  • 이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 \(F=R_0\)의 체확장 \(R\) 을 radical 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.

 

 

정리 0

소수 p 에 대하여 \(F\)의 radical 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) \(\rho \in R\) 과  \(v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여, 

(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

 

오차방정식
  • 방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)이 주어졌다고 가정하자.
  • 그 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

 

  • \(K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\)
  • \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)

 

 

정리 1. 

이 방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 radical 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\)이 존재하여

(2) \(v=v_0+{\sqrt[5]\rho}+v_2{\sqrt[5]\rho^2}+v_3{\sqrt[5]\rho^3}+v_4{\sqrt[5]\rho^4}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

예)

 

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

 

 

정리 2. (theorem of natural irrationalities)

 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

 

정리 3.

\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인  F의 radical 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

 \(F\)의 radical 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 위의 조건을 만족시킨다고 하자. 

적당한 소수 p 에 대하여 의 radical 체확장 \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 인 간단한 경우에 대하여 생각해보자.

정리 0을 사용하여, 

 

 

■

 

아벨정리의 증명.

 

 

 

 

 

 

Monodromy proof

Consider \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).

For \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\), the above equation has four distinct roots.

These are the branch points and determines the Riemann surfaces.

Then the monodromy group is acting as a permutation of sheets and not solvable.

(This is a little different from the Galois group.)

We can apply this monodromy idea to the computation of Galois groups of number fields.

 

 

regular proof

\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.

It has two complex and 3 real roots.

This implies the Galois group is \(S_5\).

 

 

일반적인 n차 방정식

 

일반적인 방정식

\(x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0\)

 

\(K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)\)

\(F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

사전 형태의 자료

 

 

링크

 

 

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