"연속 방정식"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
6번째 줄: 6번째 줄:
  
 
<h5>개요</h5>
 
<h5>개요</h5>
 +
 +
 
  
 
 
 
 
14번째 줄: 16번째 줄:
  
 
* Q  : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
 
* Q  : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
−
* <math>\rho</math> : charge density
+
* <math>\rho</math> : charge density (density of some abstract fluid)
−
* <math>\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)</math> : current density
+
* <math>\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)</math> : current density (velocity of this abstract fluid at each space time point)
 
* V : arbitrary  three dimensional region bounded by the closed surface S
 
* V : arbitrary  three dimensional region bounded by the closed surface S
  
28번째 줄: 30번째 줄:
 
*  local conservation 은 두 양이 같음을 의미함<br><math>-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}</math><br>
 
*  local conservation 은 두 양이 같음을 의미함<br><math>-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}</math><br>
 
*  우변에 [[발산 정리(divergence theorem)]] 를 적용하면,<br><math>-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV</math><br>
 
*  우변에 [[발산 정리(divergence theorem)]] 를 적용하면,<br><math>-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV</math><br>
 +
*  임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다<br><math>\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0</math><br>
 +
* 이를 연속방정식이라 부른다
 +
* <math>j(x)=(j_0(x),j_1(x),j_2(x),j_3(x))</math>
 +
* , <math>\partial_{\mu} J^{\mu}=0</math> 로 쓰기도 한다.
  
−
*  current <math>j(x)=(j_0(x),j_1(x),j_2(x),j_3(x))</math> satisfies<br><math>\partial^{\mu} J_{\mu}=0</math><br>
+
 
 +
 
 +
*  current  satisfies<br><math>\partial^{\mu} J_{\mu}=0</math><br>
 
*  we get a conserved quantity<br><math>G=\int_V J_0(x) \,d^3 x</math><br>
 
*  we get a conserved quantity<br><math>G=\int_V J_0(x) \,d^3 x</math><br>
 
* Lagrangian can be used to express the current density explicity
 
* Lagrangian can be used to express the current density explicity
38번째 줄: 46번째 줄:
  
 
*  obeys the continuity equation<br><math>\partial_{\mu} J^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}\frac{\partial j^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0</math><br>
 
*  obeys the continuity equation<br><math>\partial_{\mu} J^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}\frac{\partial j^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0</math><br>
−
* <math>j^{4}(x)</math> density of some abstract fluid
+
 
−
* <math>\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)</math> velocity of this abstract fluid at each space time point
+
 
−
* conserved charge<br><math>Q(t)=\int_V J_0(x) \,d^3 x</math><br><math>\frac{dQ}{dt}=0</math><br>  <br>
+
 
 +
 
 +
 
 +
<h5>보존량</h5>
 +
 
 +
* <math>Q(t)=\int_V J_0(x) \,d^3 x</math><br><math>\frac{dQ}{dt}=0</math><br>  <br>
  
 
 
 
 

2012년 6월 11일 (월) 02:33 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

notation
  • Q  : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
  • \(\rho\) : charge density (density of some abstract fluid)
  • \(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) : current density (velocity of this abstract fluid at each space time point)
  • V : arbitrary  three dimensional region bounded by the closed surface S

 

 

local conservation
  • V 내부에서 Q가 줄어드는 비율
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV\)
  • Q-current 의 곡면 S에 대한 flux
    \(\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
  • local conservation 은 두 양이 같음을 의미함
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
  • 우변에 발산 정리(divergence theorem) 를 적용하면,
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV\)
  • 임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다
    \(\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0\)
  • 이를 연속방정식이라 부른다
  • \(j(x)=(j_0(x),j_1(x),j_2(x),j_3(x))\)
  • , \(\partial_{\mu} J^{\mu}=0\) 로 쓰기도 한다.

 

  • current  satisfies
    \(\partial^{\mu} J_{\mu}=0\)
  • we get a conserved quantity
    \(G=\int_V J_0(x) \,d^3 x\)
  • Lagrangian can be used to express the current density explicity

 

  • current 
    \(j(x)=(j^0(x),j^1(x),j^2(x),j^3(x))\)
    \(j^{\mu}(x)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \phi )}\left(\frac{\partial\alpha_{s}(\phi)}{\partial s} \right) \)
  • obeys the continuity equation
    \(\partial_{\mu} J^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}\frac{\partial j^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0\)

 

 

보존량
  • \(Q(t)=\int_V J_0(x) \,d^3 x\)
    \(\frac{dQ}{dt}=0\)
     

 

역사

 

 

 

메모

http://www.rose-hulman.edu/~bryan/lottamath/cons2d2.pdf

 

http://www.rose-hulman.edu/~bryan/lottamath/

 

 

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Volumetric_flow_rate

http://en.wikipedia.org/wiki/Mass_flow_rate

 

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=연속_방정식&oldid=15252"