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* 국소적인 보존(local conservation) ~ 연속방정식
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* 싱크와 소스가 있는 경우는 약간의 수정이 필요함
  
 
 
 
 
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*  임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다<br><math>\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0</math><br>
 
*  임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다<br><math>\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0</math><br>
 
* 이를 연속방정식이라 부른다
 
* 이를 연속방정식이라 부른다
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* <math>j(x)=(j_0(x),j_1(x),j_2(x),j_3(x))</math>
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* <math>\rho=j_0</math> 로 두어, <math>\mathbf{j}=(j^0,j^1,j^2,j^3)</math> 에 대하여 <math>\partial_{\mu} j^{\mu}=0</math> 의 형태로 쓰기도 한다
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* , <math>\partial_{\mu} J^{\mu}=0</math> 로 쓰기도 한다.
 
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*  current  satisfies<br><math>\partial^{\mu} J_{\mu}=0</math><br>
 
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*  we get a conserved quantity<br><math>G=\int_V J_0(x) \,d^3 x</math><br>
 
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* Lagrangian can be used to express the current density explicity
 
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*  current <br><math>j(x)=(j^0(x),j^1(x),j^2(x),j^3(x))</math><br><math>j^{\mu}(x)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \phi )}\left(\frac{\partial\alpha_{s}(\phi)}{\partial s} \right) </math><br>
 
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*  obeys the continuity equation<br><math>\partial_{\mu} J^{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}\frac{\partial j^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0</math><br>
 
  
 
 
 
 
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<h5>보존량</h5>
 
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* <math>Q(t)=\int_V J_0(x) \,d^3 x</math><br><math>\frac{dQ}{dt}=0</math><br>  <br>
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* V : <math>\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)</math> 이 되도록 하는 충분히 큰 공간
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*  total electric charge 또는 total mass in fluid 에 대한 다음과 같은 보존법칙을 얻는다<br><math>Q(t)=\int_V \rho \,dV</math> 는 일정하다<br> 또는<br><math>\frac{dQ}{dt}=0</math><br>  <br>
  
 
 
 
 

2012년 6월 11일 (월) 03:06 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 국소적인 보존(local conservation) ~ 연속방정식
  • \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\)
  • 싱크와 소스가 있는 경우는 약간의 수정이 필요함

 

 

notation
  • Q  : charge (e.g. electric charge or a mass of fluid)
  • \(\rho\) : charge density (density of some abstract fluid)
  • \(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) : current density (velocity of this abstract fluid at each space time point)
  • V : arbitrary  three dimensional region bounded by the closed surface S

 

 

local conservation
  • V 내부에서 Q가 줄어드는 비율
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV\)
  • Q-current 의 곡면 S에 대한 flux
    \(\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
  • local conservation 은 두 양이 같음을 의미함
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S}\)
  • 우변에 발산 정리(divergence theorem) 를 적용하면,
    \(-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho \,dV = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV\)
  • 임의의 V에 대하여 성립하므로, 다음을 얻는다
    \(\frac{d\rho}{dt} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0\)
  • 이를 연속방정식이라 부른다
  • \(\rho=j_0\) 로 두어, \(\mathbf{j}=(j^0,j^1,j^2,j^3)\) 에 대하여 \(\partial_{\mu} j^{\mu}=0\) 의 형태로 쓰기도 한다

 

 

보존량
  • V : \(\mathbf{J}=(j_x,j_y,j_z)\) 이 되도록 하는 충분히 큰 공간
  • total electric charge 또는 total mass in fluid 에 대한 다음과 같은 보존법칙을 얻는다
    \(Q(t)=\int_V \rho \,dV\) 는 일정하다
    또는
    \(\frac{dQ}{dt}=0\)
     

 

역사

 

 

 

메모

http://www.rose-hulman.edu/~bryan/lottamath/cons2d2.pdf

 

http://www.rose-hulman.edu/~bryan/lottamath/

 

 

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Volumetric_flow_rate

http://en.wikipedia.org/wiki/Mass_flow_rate

 

 

 

 

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