"왓슨 변환(Watson transform)"의 두 판 사이의 차이

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* <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math><br>
 
* <math>\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i</math><br>
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*  반지름이 <math>R=n+1/2</math> 인 원 위에서 유계, <math>0\leq \left|\cot \left(\pi  R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right</math> 가 성립함. (<math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math>)<br>
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*  반지름이 <math>R=n+1/2</math> 인 원 위에서 유계이며, <math>0\leq \left|\cot \left(\pi  R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right</math> 가 성립함. (<math>n\in \mathbb{N}</math>, <math>t\in \mathbb{R}</math>)<br>
  
 
 
 
 
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 <math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz=-\pi^{4}/45+\sum_{n\leq R} g(n)</math>
 
 <math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz=-\pi^{4}/45+\sum_{n\leq R} g(n)</math>
  
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이때 반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 적분은 0으로 수렴한다.
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우변의 <math>-\pi^{4}/45</math>는<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0에서의 유수(residue)이다.
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0이 아닌 정수 <math>k</math>에 대하여 <math>z\approx k</math> 이면,  <math>\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}</math>
 
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한편<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0이 아닌 정수 <math>k</math>에서의 유수(residue)는  <math>\frac{1}{k^{4}}</math>로 주어진다. 
 
  
 
<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>([[코탄젠트]] 참조)
 
<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>([[코탄젠트]] 참조)
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를 이용하면 0 에서의 유수는 <math>-\pi^{4}/45</math> 임을 알 수 있다.
 
를 이용하면 0 에서의 유수는 <math>-\pi^{4}/45</math> 임을 알 수 있다.
  
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그러므로 모든 유수의 합은 <math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>
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반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
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<math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>. ■
  
 
 
 
 

2011년 7월 19일 (화) 10:19 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 유수정리(residue theorem) 의 응용
  • 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
    \(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
    여기서 \(\sum\) 는 D에 있는 정수점 위의 합

 

 

복소함수 코탄젠트의 성질
  • \(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)
  • 반지름이 \(R=n+1/2\) 인 원 위에서 유계이며, \(0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right\) 가 성립함. (\(n\in \mathbb{N}\), \(t\in \mathbb{R}\))

 

 

 

응용 : 리만제타함수의 정수에서의 값

\(\zeta(4)\) 를 구하는 방법을 통해서 일반적인 경우의 증명도 알 수 있다.

\(g(z)=1/z^4\)과 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.

 \(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz=-\pi^{4}/45+\sum_{n\leq R} g(n)\)

우변의 \(-\pi^{4}/45\)는\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0에서의 유수(residue)이다.

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.

\(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\). ■

 

 

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