"원환면 (torus)"의 두 판 사이의 차이

2012년 10월 20일 (토) 17:38 판

매개화
\(X(u,v)=\{\cos (u) (a+b \cos (v)),\sin (u) (a+b \cos (v)),b \sin (v)\}\)
\(0<u<2\pi\), \(0<v<2\pi\)
\(X_u=\{\sin (u) (-(a+b \cos (v))),\cos (u) (a+b \cos (v)),0\}\)
\(X_v=\{-b \cos (u) \sin (v),-b \sin (u) \sin (v),b \cos (v)\}\)
\(N=\{b \cos (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (v) (a+b \cos (v))\}\)
왼쪽 그림의 붉은 색 작은 원을 y-축에 대하여 회전하여, 오른쪽 원환면을 얻는다
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측지선 이 만족시키는 미분방정식
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
풀어쓰면,
\(\frac{d^2 u}{dt^2} -\frac{2b \sin (v)}{a+b \cos (v)}\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
\(\frac{d^2 v}{dt^2} + \frac{\sin (v) (a+b \cos (v))}{b}\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)

가우스곡률 항목 참조
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)=\frac{\cos (v)}{a b+b^2 \cos (v)}\)

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 ==개요==
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 * <math>X_u=\{\sin (u) (-(a+b \cos (v))),\cos (u) (a+b \cos (v)),0\}</math><br><math>X_v=\{-b \cos (u) \sin (v),-b \sin (u) \sin (v),b \cos (v)\}</math><br>
 * <math>N=\{b \cos (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (u) \cos (v) (a+b \cos (v)),b \sin (v) (a+b \cos (v))\}</math>
-*  왼쪽 그림의 붉은 색 작은 원을 y-축에 대하여 회전하여, 오른쪽 원환면을 얻는다<br>  -><br>
+*  왼쪽 그림의 붉은 색 작은 원을 y-축에 대하여 회전하여, 오른쪽 원환면을 얻는다<br> [[파일:원환면 (torus)1.gif]]  -> [[파일:원환면 (torus)2.gif]]