이계 선형 미분방정식

==이 항목의 수학노트 원문주소

• 이계 선형 미분방정식

 

 

==개요

• 다음 형태로 주어지는 미분방정식
  \(\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\)
  

 

 

==예

• 상수계수 이계 선형미분방정식
  \(ay''+by'+cy=0\)
  

• 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
  \(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)
  

 

 

==론스키안(Wronskian)

• 론스키안(Wronskian)은 미분방정식
• \(\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0\)
  의 일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다
  \(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\)
  
• 정리
  \(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}\)
  

(증명)

\(W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)

\(W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)

따라서 적당한 상수 c에 대하여, \(W=\,c e^{-\int{p}\,dz}\) ■

 

 

==미분방정식의 변환 (Q-form)

• \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) 의 가운데 \( p(x)y\) 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다

\(\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}\) 로 두자 .

\(y(x)=\sigma(x)u(x)\) 가 미분방정식의 해이면,

\(u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0\) 가 성립한다

 

특별히 이를 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 에 응용할 경우,

\( p(z)=\frac{c-z (a+b+1)}{(1-z) z}\), \(q(z)=-\frac{a b}{(1-z) z}\) 로 두면,

\(q(z)-\frac{1}{4} p(z)^2-\frac{p'(z)}{2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1-\alpha ^2}{z^2}+\frac{1-\gamma ^2}{(z-1)^2}+\frac{\alpha ^2+\gamma ^2-\beta ^2-1}{z(z-1)}\right)\)  을 얻는다.

여기서 \(\alpha =1-c,\beta =a-b,\gamma =-a-b+c\).

 

 

==역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

==관련된 항목들

 

 

==수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
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• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
• 남·북한수학용어비교
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNkloSUtXMkszZ1U/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

==사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

==관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
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