"차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)"의 두 판 사이의 차이

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미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 <math>\Delta F=f</math> 로 표현하자.
 
미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 <math>\Delta F=f</math> 로 표현하자.
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수열 f 에 대하여
 
수열 f 에 대하여
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가 성립한다.
 
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<math>F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)</math>
 
<math>F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)</math>
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* [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]]
 
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* [[미적분학의 기본정리]]
 
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* [[q-적분 (잭슨 적분, Jackson integral)]]
  
 
 
 
 

2012년 5월 12일 (토) 03:20 판

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개요
  • 수열의 합을 다루는 데 유용한 테크닉
  • finite calculus 라는 이름으로 불리기도 함.
  • 미적분학의 개념과 대응되는 점이 있음.
    • 계차수열 ~ 미분
    • 부분합 ~ 적분

 

 

계차수열

F, f 는 다음 조건을 만족하는 두 수열이다.

\(\Delta F=f\) 즉 \(f(n)=F(n+1)-F(n)\)

미분의 역연산을 부정적분으로 정의하듯이, 계차수열이 f 가 되는 수열 F를 \(\Delta F=f\) 로 표현하자.

 

(정리)

 

 

수열의 부분합

수열 f 에 대하여

\(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)\)

는 정적분에 대응되는 개념으로 이해할 수 있다

 

 

Calculus of Finite Dfference의 기본정리

두 수열 F, f 가 \(\Delta F=f\)를 만족하면,

\(\sum_{n=a}^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)\)

가 성립한다.

 

 

증명

\(F(b)-F(a)=F(b)-F(b-1)+F(b-1)-F(b-2)+F(b-2)+\cdots+F(a+1)-F(a)=f(b-1)+f(b-2)+\cdots f(a)= \sum_{n=a}^{b-1}f(n)\)

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