"초기하급수(Hypergeometric series)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
7번째 줄: 7번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>개요</h5>
+
==개요</h5>
  
 
* 두 연속한 계수의 비가 <math>n</math> 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
 
* 두 연속한 계수의 비가 <math>n</math> 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
18번째 줄: 18번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>정의</h5>
+
==정의</h5>
  
 
* 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우<br><math>\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}</math> 이고 <math>{A(n)},{B(n)}</math>은 n에 관한 다항식인 경우<br>
 
* 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우<br><math>\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}</math> 이고 <math>{A(n)},{B(n)}</math>은 n에 관한 다항식인 경우<br>
30번째 줄: 30번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>오일러-가우스 초기하급수</h5>
+
==오일러-가우스 초기하급수</h5>
  
 
* [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]에서 다룸
 
* [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]에서 다룸
38번째 줄: 38번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>예</h5>
+
==예</h5>
  
 
*  지수함수<br><math>e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\beta_n = \frac{1}{n!}</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}</math><br>
 
*  지수함수<br><math>e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n</math><br><math>\beta_n = \frac{1}{n!}</math><br><math>\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}</math><br>
49번째 줄: 49번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>well-poised</h5>
+
==well-poised</h5>
  
 
* http://mathworld.wolfram.com/Well-Poised.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/Well-Poised.html
57번째 줄: 57번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>k-balanced</h5>
+
==k-balanced</h5>
  
 
* http://mathworld.wolfram.com/k-Balanced.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/k-Balanced.html
65번째 줄: 65번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>Clausen 항등식</h5>
+
==Clausen 항등식</h5>
  
 
<math>\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) </math>
 
<math>\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) </math>
79번째 줄: 79번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>메모</h5>
+
==메모</h5>
  
 
* http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat48-2.pdf
 
* http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat48-2.pdf
87번째 줄: 87번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>재미있는 사실</h5>
+
==재미있는 사실</h5>
  
 
* Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨
 
* Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨
95번째 줄: 95번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>관련된 항목들</h5>
+
==관련된 항목들</h5>
  
 
* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]
 
* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]
137번째 줄: 137번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
+
==관련도서 및 추천도서</h5>
  
 
* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]<br>
152번째 줄: 152번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>관련논문</h5>
+
==관련논문</h5>
  
 
* [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"]<br>
 
* [http://www.ams.org/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01180-9/ Euler's "De Partitio Numerorum"]<br>
177번째 줄: 177번째 줄:
 
 
 
 
  
−
<h5>'''블로그'''</h5>
+
=='''블로그'''</h5>
  
 
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=

2012년 11월 1일 (목) 03:45 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

==개요

  • 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
  • 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
  • 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
  • q-analogue 에 대해서는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 항목을 참조

 

 

==정의

  • 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우
    \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)
    \(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우
  • 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다
    \(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)
    \(c,d\)는 각각 \(A,B\)의 최고차항의 계수
  • 이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다
    \(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)
  • 변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다
    \(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)
  • 여기서  Pochhammer 기호\((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다
    \(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)

 

 

==오일러-가우스 초기하급수

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)

 

==예

 

 

==well-poised

 

 

==k-balanced

 

 

==Clausen 항등식

\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)

 

 

란덴변환(Landen's transformation)

\(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)

 

==메모

 

 

==재미있는 사실

  • Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨

 

 

==관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

==관련도서 및 추천도서

 

 

==관련논문

 

 

수학용어번역

 

 

==블로그

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=초기하급수(Hypergeometric_series)&oldid=19055"