"추상대수학"의 두 판 사이의 차이
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2010년 8월 12일 (목) 11:23 판
간단한 요약
- 현대대수학의 기본적인 언어이자 대상인, 군, 환, 체의 기본적인 용어 및 이론을 공부함.
- 갈루아 이론 - 군론을 통해 확장체 혹은 대수방정식의 해가 가진 대칭성을 들여다 봄.
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
- 고교 수준의 대수학
- 다항식, 다항방정식
- 기초적인 선형대수학
- 기저, 차원, 선형사상, 행렬, 행렬식
- 기저, 차원, 선형사상, 행렬, 행렬식
다루는 대상
- 군(group)
- 대칭성을 기술하는 언어
- 항등원, 역원,
- 환(ring)
- 덧셈, 뺄셈, 곱하기가 가능하며, 덧셈과 곱셈 사이에 분배법칙이 성립.
- 정수의 집합, 다항식의 집합, n x n 행렬들의 집합
- 체(field)
- 실수, 복소수와 같이 사칙연산이 가능.
- 좀더 일반적으로 곱셈의 교환법칙을 가정하지 않는 경우는 division ring이라 부름.
중요한 개념 및 정리
- 순환군
- 군론
- 유한생성 아벨군의 기본정리
- 체론(field theory)
- ideal
- 유한체
- 갈루아 체확장
유명한 정리 혹은 생각할만한 문제
- 대수학의 기본정리(The fundamental theorem of algebras)의 대수적 증명은 가능한가?
- 해밀턴의 사원수
- 가우스와 정17각형의 작도
- 그리스 3대 작도 불가능문제를 군론을 통해 해결할 수 있음.
- 일반적인 5차 이상의 방정식의 대수적 해가 존재하지 않음에 대한 아벨의 증명
- 유클리드 도메인이 아닌 PID
- 7개의 프리즈 패턴
- 17 Plane Crystallographic groups
다른 과목과의 관련성
- 정수론
- 선형대수학
- 대수곡선론
- 대수기하학 입문으로서의 대수곡선론
- 대수적위상수학
- 군론
- fundamental group을 정의하기 위해 필요
- covering space의 deck transformation group
- 유한생성 아벨군의 기본정리
- 호몰로지를 이해하기 위해 필요
- 군론
- 조합론
- 번사이드 보조정리
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 펠릭스 클라인의 '정이십면체와 5차방정식'
- semisimple rings
- 유한군의 표현론
- 대수적정수론
- Classical groups
표준적인 교과서
- A First Course in Abstract Algebra
- John B. Fraleigh
추천도서 및 보조교재
- A History of Abstract Algebra
- Israel Kleiner
- Israel Kleiner
참고할만한 자료
- The Evolution of Algebra 1800-1870
- I. G. Bashmakova and A. N. Rudakov , The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 3 (Mar., 1995), pp. 266-270
- The Evolution of Group Theory: A Brief Survey
- Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
- A History of Lagrange's Theorem on Groups
- Richard L. Roth, Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 99-108
- Hamilton's Discovery of Quaternions
- B. L. van der Waerden, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 5 (Nov., 1976), pp. 227-234
- The Genesis of the Abstract Ring Concept
- Israel Kleiner, The American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 5 (May, 1996), pp. 417-424
- A Historically Focused Course in Abstract Algebra
- Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 2 (Apr., 1998), pp. 105-111
- Galois Theory for Beginners
- John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
- Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
- Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
- A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain
- Oscar A. Campoli, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 9 (Nov., 1988), pp. 868-871
- Principal Ideal Domains are Almost Euclidean
- John Greene, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 2 (Feb., 1997), pp. 154-156