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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;"> | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> |
* 정의<br><math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math><br> 여기서 <math>\beta(s)</math> 는 [[디리클레 베타함수]]<br> | * 정의<br><math>G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots</math><br> 여기서 <math>\beta(s)</math> 는 [[디리클레 베타함수]]<br> | ||
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">적분표현</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">적분표현</h5> | ||
| − | <math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln | + | <math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt</math> |
<math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy</math> | <math>G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy</math> | ||
| − | <math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin | + | <math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt</math> |
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| + | * [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br> | ||
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5> | ||
| − | * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 | + | * [[L-함수, 제타함수와 디리클레 급수]]<br> |
| + | * [[디리클레 L-함수]]<br> | ||
| + | * [[디리클레 베타함수]]<br> | ||
| + | |||
* [[르장드르 카이 함수]]<br> | * [[르장드르 카이 함수]]<br> | ||
| + | * [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br> | ||
* [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]<br> | * [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]<br> | ||
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br> | * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br> | ||
2010년 4월 1일 (목) 16:50 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 정의
\(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)
여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수 - 많은 정적분에 등장함
적분표현
\(G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\)
\(G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\)
\(G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\)
- 로바체프스키와 클라우센 함수
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
재미있는 사실
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_constant
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Catalan+constant
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련논문
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