"카탈란 상수"의 두 판 사이의 차이

2010년 4월 1일 (목) 17:08 판

정의
\(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)
여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수
많은 정적분에 등장함

로바체프스키와 클라우센 함수
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
dilogarithm 함수

\(G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\)

\(G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\)

\(G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\)

라이프니츠 급수
\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">적분표현</h5>
+* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br>
+* [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]]<br>
 <math>G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt</math>
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 <math>G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt</math>
-* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math><br>
+* [[#]]<br>
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라이프니츠 급수</h5>
+* [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]<br><math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math><br>