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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">관련링크와 웹페이지</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">관련링크와 웹페이지</h5> | ||
| − | * [ | + | * [http://www.cs.cmu.edu/%7Eadamchik/articles/catalan/catalan.htm 33 representations for Catalan's constant]<br> |
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5> | ||
| + | * [http://dx.doi.org/10.1007/BF02392811 The asymptotic determinant of the discrete Laplacian]<br> | ||
| + | ** Richard Kenyon, Acta Mathematica Volume 185, Number 2, 239-286, 2000 | ||
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
2010년 10월 2일 (토) 13:08 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 정의
\(G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)
여기서 \(\beta(s)\) 는 디리클레 베타함수 - 많은 정적분에 등장함
적분표현
- 로바체프스키와 클라우센 함수
\(\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\)
\(\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G\)
이로부터 다음을 알 수 있다
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\sin t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2-\frac{G}{2}\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (\cos t)dt =-\frac{\pi}{4}\ln 2+\frac{G}{2}\) - 그 밖의 정적분 표현
\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=G\)
\(G = -\int_{0}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt\)
\(G = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy\)
\(G = \int_{0}^{\pi/4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt\)
\(\int_{0}^{\pi/2} \frac{t}{\sin t} \,dt=2G\) - dilogarithm 함수
타원적분과의 관계
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
\(\int_0^1 K(k) \,dk=2G\) - 제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)
[[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)|]]\(\int_0^1 E(k) \,dk=\frac{1}{2}+G\)
라이프니츠 급수와의 비교
- 라이프니츠 급수
\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)
오일러-맥클로린 공식을 통한 계산
- 오일러-맥클로린 공식을 적용하기 위해 카탈란 상수를 다음과 같이 쓰자
\(G = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots = (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2}) + (\frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2}) + \cdots =8\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2k+1}{(4k+1)^2(4k+3)^2}\)
메모
http://www.combinatorics.org/Volume_10/PDF/v10i1r14.pdf
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan's_constant
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_beta_function
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Catalan+constant
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
관련링크와 웹페이지
관련논문
- The asymptotic determinant of the discrete Laplacian
- Richard Kenyon, Acta Mathematica Volume 185, Number 2, 239-286, 2000
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
관련도서 및 추천도서
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관련기사
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