타원곡선 y²=x³-x

이 항목의 스프링노트 원문주소

• 타원곡선 y^2=x^3-x
  

 

 

개요

• 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
  
• square lattice
  
• x\to -x and y\to iy is a symmetry
  
• complex multiplication
  

 

 

 

판별식과 conductor

• 판별식 \(\Delta=64\)
  
• conductor \(N=32\)
  

 

 

실수해

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유리수해

• \(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
  
• rank 는 0
  

 

 

주기(periods)

• 타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 \(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
• 주기는 다음과 같이 주어진다
  \(\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
  \(\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\)
  
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
  \(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\)
  \(2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
  
• 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교[1]

 

 

 

유한체에서의 해의 개수

• 유한체에서의 해의 개수
  \(E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}\)
  \(M_p=\#E(\mathbb{F}_p)\)
  \(a_p=p+1-M_p\)
  
• 아래 표 참조
  

 

 

제타함수

• 대수적다양체의 제타함수 항목 참조
• 로컬제타함수
  \(p\neq 2\) 인 경우
  \(Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}\)
  \(p= 2\)인 경우
  \(Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}\)
  

 

 

모듈라 형식

• 모듈라 형식
  \(f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots\)
  \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수
  
• 표
  \( \begin{array}{ccc} {p} & {a_p} & {c_p} \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 5 & -2 & -2 \\ 7 & 0 & 0 \\ 11 & 0 & 0 \\ 13 & 6 & 6 \\ 17 & 2 & 2 \\ 19 & 0 & 0 \\ 23 & 0 & 0 \\ 29 & -10 & -10 \\ 31 & 0 & 0 \\ 37 & -2 & -2 \\ 41 & 10 & 10 \\ 43 & 0 & 0 \\ 47 & 0 & 0 \\ 53 & 14 & 14 \\ 59 & 0 & 0 \\ 61 & -10 & -10 \\ 67 & 0 & 0 \\ 71 & 0 & 0 \end{array} \)
  

• 타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조
  

 

 

재미있는 사실

 

• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 타니야마-시무라 추측(정리)
  
• 페르마의 마지막 정리
  
• 렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분
  

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

• 매스매티카 파일 목록

 

• http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_1^{infty}+1/sqrt(x^3-x)+dx
  

 

 

사전 형태의 자료

•  
  
•  
  
• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/