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*  아벨군 <math>G</math>과 불변측도, 캐릭터 <math>\chi:G\to \mathbb{C}</math>그 위에 정의된 함수 <math>f:G \to \mathbb C</math>,  에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg</math><br>
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*  아벨군 <math>G</math>과 불변측도, 캐릭터 <math>\chi:G\to \mathbb{C}</math>그 위에 정의된 함수 <math>f:G \to \mathbb C</math>,  에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의:<math>\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg</math><br>
  
 
 
 
 
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==푸리에변환(실수의 경우)==
 
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*  리 아벨군으로서의 <math>G=(\mathbb{R}, +)</math> 과 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br>
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*  리 아벨군으로서의 <math>G=(\mathbb{R}, +)</math> 과 <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의:<math>\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx</math><br>
  
 
 
 
 
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==멜린 변환==
 
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* <math>G=(\mathbb{R^{+}}, *)</math>, <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의<br><math>\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br>
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* <math>G=(\mathbb{R^{+}}, *)</math>, <math>f:G \to \mathbb C</math> 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의:<math>\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}</math><br>
 
* [[감마함수]]의 정의, [[리만제타함수]], [[디리클레 L-함수]]의 해석적확장에 활용<br>
 
* [[감마함수]]의 정의, [[리만제타함수]], [[디리클레 L-함수]]의 해석적확장에 활용<br>
 
* [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]<br>
 
* [[ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙]]<br>

2013년 1월 12일 (토) 10:49 판

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개요

  • 아벨군 \(G\)과 불변측도, 캐릭터 \(\chi:G\to \mathbb{C}\)그 위에 정의된 함수 \(f:G \to \mathbb C\),  에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의\[\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg\]

 

 

유한아벨군의 경우

  • \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우

\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)

여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)

 

 

 

푸리에변환(실수의 경우)

  • 리 아벨군으로서의 \(G=(\mathbb{R}, +)\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의\[\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\]

 

 

푸리에 변환의 예

\(f(x)=e^{-\alpha x^2}\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}\)

\(f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)\)

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}\)

 

 

멜린 변환

 

 

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