황금비

목차----

1. 이 항목의 수학노트 원문주소
2. 개요
3. 황금비
4. 정오각형과 황금비
5. 황금비와 피보나치 수열
6. 황금비와 정이십면체
7. 연분수
8. 유리수 근사와 황금비
9. 로저스-라마누잔 연분수
10. Dilogarithm
11. 르장드르 카이 함수
12. 메모
13. 관련된 단원
14. 많이 나오는 질문
15. 관련된 고교수학 또는 대학수학
16. 관련된 항목들
17. 관련도서
18. 참고할만한 자료
19. 동영상
20. 관련기사

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

황금비^#

• \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
• 두 수 (또는 길이)  \(a,b\)가   \(a+b:a=a:b\) 를 만족시키면 황금비를 이룬다고 말함

[[Media:|]]

 

 

정오각형과 황금비^#

• 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]

 

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

• 정오각형

 

 

황금비와 피보나치 수열^#

[/pages/2252978/attachments/1347082 goldenrectangle.jpg]

• 피보나치 수열의 여러가지 성질

 

 

황금비와 정이십면체^#

[[|Golden rectangles in an icosahedron]]

• 황금사각형 세 개가 이루는 꼭지점이 정이십면체의 꼭지점이 된다

 

 

연분수^#

\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)

 

 

유리수 근사와 황금비^#

무리수 \(\alpha\) 에 대하여,

\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)

는 무한히 많은 p,q 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.

• 연분수 항목을 참조

 

 

로저스-라마누잔 연분수^#

\(\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1+\dots}}} = \left({\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left({\sqrt{\varphi\sqrt{5}}-\varphi}\right) = 0.9981360\dots\)

• 라마누잔의 연분수

 

Dilogarithm^#

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

• Dilogarithm 항목을 참조

 

 

르장드르 카이 함수^#

• 르장드르 카이 함수
  [[르장드르 카이 함수|]]\(\chi_2(\frac{\sqrt5 -1}{2}) = \frac{\pi^2}{12}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)
  \(\chi_2(\sqrt5 -2}) = \frac{\pi^2}{24}-\frac{3}{4}\ln^2(\frac{\sqrt{5}+1}{2})}\)
  

 

메모^#

• golden integral : http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=785258#785258
• 숫자 5 http://plus.maths.org/issue45/features/kaplan/index.html

 

 

 

 

많이 나오는 질문^#

• 네이버 지식인
  
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=황금비

 

 

 

관련된 항목들^#

• 정오각형
• 정다면체
• 피보나치 수열의 여러가지 성질
• Dilogarithm
• 라마누잔의 연분수

 

 

 

참고할만한 자료^#

• This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 203)
  
  • John Baez
• Misconceptions about the Golden Ratio
  
  • George Markowsky
  • The College Mathematics Journal, Vol. 23, No. 1 (Jan., 1992), pp. 2-19
• http://ko.wikipedia.org/wiki/황금비
• http://en.wikipedia.org/wiki/golden_ratio
• http://www18.wolframalpha.com/input/?i=golden+ratio

 

동영상^#

• Nature by Numbers
• http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=

 

관련기사^#

네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)

• http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
• http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=