"2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)"의 두 판 사이의 차이

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==연분수 전개==
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* 루트 2의 연분수 전개 :<math>\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math>
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* convergents는 다음과 같이 주어진다 :<math>1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots </math>
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==정수 수열==
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* 정수로 이루어진 수열 <math>\{a_n\},\{b_n\}</math>를 다음과 같이 정의하자 :<math>(1 + \sqrt{2})^n=a_n+\sqrt{2}b_n, n=0,1,\cdots</math>
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* 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
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** <math>a_{n+1}=a_n+2 b_n</math>, <math>a_0=1</math>
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** <math>b_{n+1}=a_n+b_n</math>, <math>b_0=1</math>
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* 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
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** <math>a_n</math> 1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
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** <math>b_n</math> 1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741
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* 다음의 성질을 만족한다
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** <math>a_n/b_n</math>는 루트 2로 수렴한다
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** <math>a_n/b_n</math>는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
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** <math>a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n-1}</math>
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\begin{vmatrix}
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a_{n-1} & a_n \\
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b_{n-1} & b_n
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\end{vmatrix}=(-1)^n
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</math>
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** <math>\{a_n\},\{b_n\}</math> 는 [[루카스 수열]]로 다음을 만족한다
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*** <math>a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=3</math>
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*** <math>b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=1, b_1=1</math>
  
  
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* [[A4 종이와 루트2]]
 
* [[A4 종이와 루트2]]
 
* [[정다각형의 대각선의 길이]]
 
* [[정다각형의 대각선의 길이]]
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* [[루카스 수열]]
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* [[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]]

2012년 9월 8일 (토) 17:27 판

개요

연분수 전개

  • 루트 2의 연분수 전개 \[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]
  • convergents는 다음과 같이 주어진다 \[1,\frac{3}{2},\frac{7}{5},\frac{17}{12},\frac{41}{29},\frac{99}{70},\frac{239}{169},\frac{577}{408},\frac{1393}{985},\frac{3363}{2378},\cdots \]


정수 수열

  • 정수로 이루어진 수열 \(\{a_n\},\{b_n\}\)를 다음과 같이 정의하자 \[(1 + \sqrt{2})^n=a_n+\sqrt{2}b_n, n=0,1,\cdots\]
  • 이 정의는 다음 점화식 정의와 같다
    • \(a_{n+1}=a_n+2 b_n\), \(a_0=1\)
    • \(b_{n+1}=a_n+b_n\), \(b_0=1\)
  • 처음의 몇 항은 다음과 같이 주어진다
    • \(a_n\) 1,3,7,17,41,99,239,577,1393,3363,8119
    • \(b_n\) 1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741
  • 다음의 성질을 만족한다
    • \(a_n/b_n\)는 루트 2로 수렴한다
    • \(a_n/b_n\)는 루트 2의 연분수 전개의 convergents이다
    • \(a_n^2-2 b_n^2=(-1)^{n-1}\)
    • \( \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_n \\ b_{n-1} & b_n \end{vmatrix}=(-1)^n \)
    • \(\{a_n\},\{b_n\}\) 는 루카스 수열로 다음을 만족한다
      • \(a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}, a_0=1, a_1=3\)
      • \(b_{n+1}=2b_n+b_{n-1}, b_0=1, b_1=1\)


메모


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