"체비셰프 다항식"의 두 판 사이의 차이

2013년 10월 7일 (월) 02:10 판

제1종 체비세프 다항식

정의

$n \geq 0 $, 다음과 같은 점화식에 의해여, $T_n(x)$을 정의
$T_0(x) = 1 $
$T_1(x) = x$
$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). $

(정리)

$n \geq 1$일 때, $T_n(x)^2=1-x^2+T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)$

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 $T_0(x) = 1$, $T_1(x) = x$, $T_2(x) = 2x^2-1$ 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

$T_{n+1}T_{n-1}=(2xT_{n}-T_{n-1})(T_{n-1})=2xT_{n}T_{n-1}-T_{n-1}^2$

$=2xT_{n}T_{n-1}-(1-x^2+T_{n}T_{n-2})=T_{n}(2xT_{n-1}-T_{n-2})-1+x^2=T_{n}^2-1+x^2$ ■

삼각함수와의 관계

$T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$
삼각함수

생성함수

생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty T_n(x) {t^n}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}\]

직교성

\[\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0 &: n\ne m \\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{cases}\]

제1종 체비셰프 다항식 목록

$$ \begin{array}{c|l} n & T_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & 2 x^2-1 \\ 3 & 4 x^3-3 x \\ 4 & 8 x^4-8 x^2+1 \\ 5 & 16 x^5-20 x^3+5 x \\ 6 & 32 x^6-48 x^4+18 x^2-1 \\ 7 & 64 x^7-112 x^5+56 x^3-7 x \\ 8 & 128 x^8-256 x^6+160 x^4-32 x^2+1 \\ 9 & 256 x^9-576 x^7+432 x^5-120 x^3+9 x \\ 10 & 512 x^{10}-1280 x^8+1120 x^6-400 x^4+50 x^2-1 \\ 11 & 1024 x^{11}-2816 x^9+2816 x^7-1232 x^5+220 x^3-11 x \\ 12 & 2048 x^{12}-6144 x^{10}+6912 x^8-3584 x^6+840 x^4-72 x^2+1 \\ 13 & 4096 x^{13}-13312 x^{11}+16640 x^9-9984 x^7+2912 x^5-364 x^3+13 x \\ 14 & 8192 x^{14}-28672 x^{12}+39424 x^{10}-26880 x^8+9408 x^6-1568 x^4+98 x^2-1 \\ 15 & 16384 x^{15}-61440 x^{13}+92160 x^{11}-70400 x^9+28800 x^7-6048 x^5+560 x^3-15 x \end{array} $$

제2종 체비세프 다항식

$n \geq 0 $, 다음과 같은 점화식에 의해여, $U_n(x)$을 정의
$U_0(x) = 1$
$U_1(x) = 2x$
$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)$

(정리)

$n \geq 1$일 때, $U_n(x)^2=1+U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)$

(증명)

수학적 귀납법을 이용하자.

n=1 일 때 $U_0(x) = 1$, $U_1(x) = 2x$, $U_2(x) = 4x^2-1$ 이므로 성립한다.

일반적인 n 에 대하여,

$U_{n+1}U_{n-1}=(2xU_{n}-U_{n-1})(U_{n-1})=2xU_{n}U_{n-1}-U_{n-1}^2$

$=2xU_{n}U_{n-1}-(1+U_{n}U_{n-2})=U_{n}(2xU_{n-1}-U_{n-2})-1=U_{n}^2-1$ ■

삼각함수와의 관계

$U_n(\cos\theta)= \frac{\sin (n+1)\theta}{\sin \theta}$
삼각함수

생성함수

생성함수

\[\sum_{n=0}^\infty U_n(x) {t^n}=\frac{1}{1-2tx+t^2}\]

제2종 체비셰프 다항식의 목록

$$ \begin{array}{c|l} n & U_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 2 x \\ 2 & 4 x^2-1 \\ 3 & 8 x^3-4 x \\ 4 & 16 x^4-12 x^2+1 \\ 5 & 32 x^5-32 x^3+6 x \\ 6 & 64 x^6-80 x^4+24 x^2-1 \\ 7 & 128 x^7-192 x^5+80 x^3-8 x \\ 8 & 256 x^8-448 x^6+240 x^4-40 x^2+1 \\ 9 & 512 x^9-1024 x^7+672 x^5-160 x^3+10 x \\ 10 & 1024 x^{10}-2304 x^8+1792 x^6-560 x^4+60 x^2-1 \\ 11 & 2048 x^{11}-5120 x^9+4608 x^7-1792 x^5+280 x^3-12 x \\ 12 & 4096 x^{12}-11264 x^{10}+11520 x^8-5376 x^6+1120 x^4-84 x^2+1 \\ 13 & 8192 x^{13}-24576 x^{11}+28160 x^9-15360 x^7+4032 x^5-448 x^3+14 x \\ 14 & 16384 x^{14}-53248 x^{12}+67584 x^{10}-42240 x^8+13440 x^6-2016 x^4+112 x^2-1 \\ 15 & 32768 x^{15}-114688 x^{13}+159744 x^{11}-112640 x^9+42240 x^7-8064 x^5+672 x^3-16 x \end{array} $$

"체비셰프 다항식"의 두 판 사이의 차이

2013년 10월 7일 (월) 02:10 판

목차

제1종 체비세프 다항식

정의

삼각함수와의 관계

생성함수

직교성

제1종 체비셰프 다항식 목록

제2종 체비세프 다항식

삼각함수와의 관계

생성함수

제2종 체비셰프 다항식의 목록

삼각함수의 배각공식

역사

메모

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 ==제1종 체비세프 다항식==
+===정의===
 * <math>n \geq 0 </math>, 다음과 같은 점화식에 의해여, <math>T_n(x)</math>을 정의
 * <math>T_0(x) = 1 </math>
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 * <math>T_{n+1}(x)  = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). </math>
 (정리)
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 <math>=2xT_{n}T_{n-1}-(1-x^2+T_{n}T_{n-2})=T_{n}(2xT_{n-1}-T_{n-2})-1+x^2=T_{n}^2-1+x^2</math> ■
-==삼각함수와의 관계==
+===삼각함수와의 관계===
-*  <math>T_n(\cos\theta)=\cos n\theta</math>
+*  <math>T_n(\cos\theta)=\cos n\theta</math>
 * [[삼각함수]]
-==생성함수==
-* [[생성함수]]:<math>\sum_{n=0}^\infty T_n(x) {t^n}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}=1 + x t + (-1 + 2 x^2) t^2 + (-3 x + 4 x^3) t^3 + \cdots</math><br>
+===생성함수===
+* [[생성함수]]
+:<math>\sum_{n=0}^\infty T_n(x) {t^n}=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}</math>
-==직교성==
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+===직교성===
+:<math>\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \begin{cases} 0 &: n\ne m \\ \pi &: n=m=0\\ \pi/2 &: n=m\ne 0 \end{cases}</math>
-==제1종 체비셰프 다항식 목록==
+===제1종 체비셰프 다항식 목록===
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 ==제2종 체비세프 다항식==
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 * <math>U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)</math>
 (정리)
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-==삼각함수와의 관계==
+===삼각함수와의 관계===
-*  <math>U_n(\cos\theta)= \frac{\sin (n+1)\theta}{\sin \theta}</math>
+*  <math>U_n(\cos\theta)= \frac{\sin (n+1)\theta}{\sin \theta}</math>
 * [[삼각함수]]
+===생성함수===
-==제2종 체비셰프 다항식의 목록==
+* [[생성함수]]
+:<math>\sum_{n=0}^\infty U_n(x) {t^n}=\frac{1}{1-2tx+t^2}</math>
-*  매쓰매티카 명령어 Do[Print["U_", n, "[x]=", ChebyshevU[n, x]], {n, 0, 20}]<br>
-U_0[x]=1<br> U_1[x]=2 x<br> U_2[x]=-1+4 x^2<br> U_3[x]=-4 x+8 x^3<br> U_4[x]=1-12 x^2+16 x^4<br> U_5[x]=6 x-32 x^3+32 x^5<br> U_6[x]=-1+24 x^2-80 x^4+64 x^6<br> U_7[x]=-8 x+80 x^3-192 x^5+128 x^7<br> U_8[x]=1-40 x^2+240 x^4-448 x^6+256 x^8<br> U_9[x]=10 x-160 x^3+672 x^5-1024 x^7+512 x^9<br> U_10[x]=-1+60 x^2-560 x^4+1792 x^6-2304 x^8+1024 x^10<br> U_11[x]=-12 x+280 x^3-1792 x^5+4608 x^7-5120 x^9+2048 x^11<br> U_12[x]=1-84 x^2+1120 x^4-5376 x^6+11520 x^8-11264 x^10+4096 x^12<br> U_13[x]=14 x-448 x^3+4032 x^5-15360 x^7+28160 x^9-24576 x^11+8192 x^13<br> U_14[x]=-1+112 x^2-2016 x^4+13440 x^6-42240 x^8+67584 x^10-53248 x^12+16384 x^14<br> U_15[x]=-16 x+672 x^3-8064 x^5+42240 x^7-112640 x^9+159744 x^11-114688 x^13+32768 x^15<br> U_16[x]=1-144 x^2+3360 x^4-29568 x^6+126720 x^8-292864 x^10+372736 x^12-245760 x^14+65536 x^16<br> U_17[x]=18 x-960 x^3+14784 x^5-101376 x^7+366080 x^9-745472 x^11+860160 x^13-524288 x^15+131072 x^17<br> U_18[x]=-1+180 x^2-5280 x^4+59136 x^6-329472 x^8+1025024 x^10-1863680 x^12+1966080 x^14-1114112 x^16+262144 x^18<br> U_19[x]=-20 x+1320 x^3-25344 x^5+219648 x^7-1025024 x^9+2795520 x^11-4587520 x^13+4456448 x^15-2359296 x^17+524288 x^19<br> U_20[x]=1-220 x^2+7920 x^4-109824 x^6+768768 x^8-3075072 x^10+7454720 x^12-11141120 x^14+10027008 x^16-4980736 x^18+1048576 x^20
+===제2종 체비셰프 다항식의 목록===
+$$
+\begin{array}{c|l}
+ n & U_n(x) \\
+\hline
+& 1 \\
+& 2 x \\
+& 4 x^2-1 \\
+& 8 x^3-4 x \\
+& 16 x^4-12 x^2+1 \\
+& 32 x^5-32 x^3+6 x \\
+& 64 x^6-80 x^4+24 x^2-1 \\
+& 128 x^7-192 x^5+80 x^3-8 x \\
+& 256 x^8-448 x^6+240 x^4-40 x^2+1 \\
+& 512 x^9-1024 x^7+672 x^5-160 x^3+10 x \\
+& 1024 x^{10}-2304 x^8+1792 x^6-560 x^4+60 x^2-1 \\
+& 2048 x^{11}-5120 x^9+4608 x^7-1792 x^5+280 x^3-12 x \\
+& 4096 x^{12}-11264 x^{10}+11520 x^8-5376 x^6+1120 x^4-84 x^2+1 \\
+& 8192 x^{13}-24576 x^{11}+28160 x^9-15360 x^7+4032 x^5-448 x^3+14 x \\
+& 16384 x^{14}-53248 x^{12}+67584 x^{10}-42240 x^8+13440 x^6-2016 x^4+112 x^2-1 \\
+& 32768 x^{15}-114688 x^{13}+159744 x^{11}-112640 x^9+42240 x^7-8064 x^5+672 x^3-16 x
+\end{array}
+$$
 ==삼각함수의 배각공식==
-* [[삼각함수의 배각공식 표]] 항목 참조<br>
+* [[삼각함수의 배각공식 표]] 항목 참조
 ==역사==
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 * [[수학사 연표]]
 ==메모==
 ==관련된 항목들==
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 * [[정다각형의 대각선의 길이]]
-==수학용어번역==
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
@@ 160번째 줄: / 184번째 줄: @@
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Chebyshev+polynomials
 * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/?q=Chebyshev http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=Chebyshev]
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
-* [[매스매티카 파일 목록]]
+==사전 형태의 자료==
-==사전 형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B2%B4%EB%B9%84%EC%87%BC%ED%94%84_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/체비쇼프_다항식]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials
 ==관련논문==
 * [http://www.jstor.org/stable/27765885 Counting on Chebyshev Polynomials]
-*  Aharonov, Dov, Alan Beardon, and Kathy Driver. 2005. “Fibonacci, Chebyshev, and Orthogonal Polynomials”. <em>The American Mathematical Monthly</em> 112 (7): 612-630. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/30037546 10.2307/30037546].<br>
+*  Aharonov, Dov, Alan Beardon, and Kathy Driver. 2005. “Fibonacci, Chebyshev, and Orthogonal Polynomials”. <em>The American Mathematical Monthly</em> 112 (7): 612-630. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/30037546 10.2307/30037546].
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://dx.doi.org/10.2307/30037546