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<math>\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}</math> | <math>\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}</math> | ||
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| − | * [[포아송의 덧셈 공식]] | + | * [[포아송의 덧셈 공식]] |
| − | * [[라플라스 변환]] | + | * [[라플라스 변환]] |
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==관련기사== | ==관련기사== | ||
| − | * [http://www.segye.com/Articles/News/Society/Article.asp?aid=20070322001256&ctg1=09&ctg2=00&subctg1=09&subctg2=00&cid=0101080900000&dataid=200703221220000054 [생활속과학원리찾기]푸리에 변환은 어떻게 쓰일까] | + | * [http://www.segye.com/Articles/News/Society/Article.asp?aid=20070322001256&ctg1=09&ctg2=00&subctg1=09&subctg2=00&cid=0101080900000&dataid=200703221220000054 [생활속과학원리찾기]푸리에 변환은 어떻게 쓰일까] |
** 안종제 영신고등학교 물리 교사, 세계일보, 2007-3-25 | ** 안종제 영신고등학교 물리 교사, 세계일보, 2007-3-25 | ||
| − | * [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 [사이언스 21](119)푸리에 급수] | + | * [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 [사이언스 21](119)푸리에 급수] |
** [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 ]전자신문, 2006-9-11 | ** [http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=200609080041 ]전자신문, 2006-9-11 | ||
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2014년 1월 14일 (화) 16:11 판
개요
- 아벨군 \(G\)과 불변측도, 캐릭터 \(\chi:G\to \mathbb{C}\)그 위에 정의된 함수 \(f:G \to \mathbb C\), 에 대하여 푸리에 변환을 다음과 같이 정의\[\hat f(\chi) := \int_{g \in G} f(g)\bar \chi(g) \,dg\]
유한아벨군의 경우
- \(G=(\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}\)와 준동형사상 \(f \colon (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}\)의 경우
\(\hat f(a) := \sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) e^{2 \pi i a t/N}=\sum_{t \in (\mathbb Z/N\mathbb Z)^{*}} f(t) \zeta^{a t}\)
여기서 \( \zeta = e^{2\pi i/N}\)
- 가우스합에의 응용
- 유한아벨군과 푸리에변환 항목에서 다루기로 함
푸리에변환(실수의 경우)
- 리 아벨군으로서의 \(G=(\mathbb{R}, +)\) 과 \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 푸리에변환을 다음과 같이 정의\[\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,dx\]
푸리에 변환의 예
\(f(x)=e^{-\alpha x^2}\)
\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}\)
\(f(x)=e^{\pi i (x^2\tau+2x z)}\)
\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{(\xi-z)^2}{\tau}}\)
멜린 변환
- \(G=(\mathbb{R^{+}}, *)\), \(f:G \to \mathbb C\) 에 대하여 멜린변환을 다음과 같이 정의\[\hat{f}(s) := \int_{0}^{\infty} f(x) x^{s}\frac{dx}{x}\]
- 감마함수의 정의, 리만제타함수, 디리클레 L-함수의 해석적확장에 활용
- ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙
재미있는 사실
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전형태의 자료
관련기사
- [생활속과학원리찾기푸리에 변환은 어떻게 쓰일까]
- 안종제 영신고등학교 물리 교사, 세계일보, 2007-3-25
- [사이언스 21(119)푸리에 급수]
- [1]전자신문, 2006-9-11