초기하급수(Hypergeometric series)

개요

• 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
• 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
• 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
• q-analogue 에 대해서는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 항목을 참조

 

 

정의

• 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우\[\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\]\[\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\] 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우
  
• 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다\[\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\]\[c,d\]는 각각 \(A,B\)의 최고차항의 계수
  
• 이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다\[1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\]
  
• 변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다\[\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\]
  
• 여기서  Pochhammer 기호\((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다\[\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\]
  

 

 

오일러-가우스 초기하급수

• 오일러-가우스 초기하함수에서 다룸

\[\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\]

 

예

• 지수함수\[e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\]\[\beta_n = \frac{1}{n!}\]\[\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\]
  
• 이항급수\[(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)\]
  
• \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)
• 타원적분
  제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]
  제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)\[E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\]
  

 

 

well-poised

• http://mathworld.wolfram.com/Well-Poised.html

 

 

k-balanced

• http://mathworld.wolfram.com/k-Balanced.html

 

 

Clausen 항등식

\[\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \]

 

 

란덴변환(Landen's transformation) \[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]

 

메모

• http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat48-2.pdf

 

 

재미있는 사실

• Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨

 

 

관련된 항목들

• 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)
• q-초기하급수(q-hypergeometric series)
• 자코비 세타함수
• Schwarz-Christoffel mappings
  
• 란덴변환(Landen's transformation)
• 오차방정식과 정이십면체
• 슈바르츠 삼각형 함수 (s-함수)

 

계산 리소스

• http://people.maths.ox.ac.uk/porterm/research/pearson_final.pdf

 

수학용어번역

• hypergeometric - 대한수학회 수학용어집

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/초기하
• http://en.wikipedia.org/wiki/hypergeometric_functions
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_hypergeometric_identities
• http://mathworld.wolfram.com/ClausenFormula.html

 

관련도서

• Conformal Mapping
  
  • Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1

 

 

관련논문

• George E. Andrews Euler's "De Partitio Numerorum", Bull. Amer. Math. Soc. 44 (2007), 561-573. 
• R Askey Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86
• George E. Andrews Applications of Basic Hypergeometric Functions, SIAM Rev. Volume 16, Issue 4, pp. 441-484 (October 1974)