"교차비(cross ratio)"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 16일 (월) 03:57 판

교차비

사영기하학의 기본개념
네 복소수 \(z_1,z_2,z_3,z_4\)에 대하여 다음과 같이 정의됨.

\[(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}\]

\(z_4=\infty\) 인 경우

\[(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}\]

대칭군과 교차비

대칭군 (symmetric group)은 \(\{1,2,3,4\}\)에 작용한다
조화비의 isotopy group은 다음과 같이 주어진다

\[ \left\{\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right),\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right)\right\} \] 즉 \((z_1,z_2;z_3,z_4)=(z_2,z_1;z_4,z_3)=(z_3,z_4;z_1,z_2)=(z_4,z_3;z_2,z_1)\)

조화비는 \(S_4\)의 작용에 의해 다음과 같이 변화한다

\[(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda\] \[(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}\] \[(z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}}\] \[(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\] \[(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}\] \[(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}\]

즉 대칭군에 의해 다음 값을 가질 수 있다

\[ \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}\]

사영기하학과 교차비

뫼비우스 변환이 네 점, \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 를 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.

\[\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}\] 즉 \(ad-bc\neq 0\)일 때, \[ \frac{\left(z_1-z_3\right) \left(z_2-z_4\right)}{\left(z_2-z_3\right) \left(z_1-z_4\right)}= \frac{\left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)}{\left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)} \]

교차비는 사영기하학의 불변량이다

매스매티카 파일 및 계산 리소스

수학용어번역

cross - 대한수학회 수학용어집
- cross ratio
- 비조화비, 복비

사전 형태의 자료

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 :<math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}</math>
 * <math>z_4=\infty</math> 인 경우
-:<math>(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}</math><br>
+:<math>(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}</math>
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 * [[대칭군 (symmetric group)]]은 <math>\{1,2,3,4\}</math>에 작용한다
 * 조화비의 isotopy group은 다음과 같이 주어진다
-$$
+:<math>
 \left\{\left(
 \begin{array}{cccc}
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 \end{array}
 \right)\right\}
-$$
+</math>
-즉 $(z_1,z_2;z_3,z_4)=(z_2,z_1;z_4,z_3)=(z_3,z_4;z_1,z_2)=(z_4,z_3;z_2,z_1)$
+즉 <math>(z_1,z_2;z_3,z_4)=(z_2,z_1;z_4,z_3)=(z_3,z_4;z_1,z_2)=(z_4,z_3;z_2,z_1)</math>
-* 조화비는 $S_4$의 작용에 의해 다음과 같이 변화한다
+* 조화비는 <math>S_4</math>의 작용에 의해 다음과 같이 변화한다
 :<math>(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda</math>
 :<math>(z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}</math>
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 :<math>(z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda</math>
 :<math>(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}}</math>
-:<math>(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}</math><br>
+:<math>(z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}</math>
 * 즉 대칭군에 의해 다음 값을 가질 수 있다
-:<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}},  1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math><br>
+:<math> \lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}},  1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}</math>
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 * [[뫼비우스 변환]]이 네 점,  <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> 를  <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math>로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.
 :<math>\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}</math>
-즉 $ad-bc\neq 0$일 때,
+즉 <math>ad-bc\neq 0</math>일 때,
-$$
+:<math>
 \frac{\left(z_1-z_3\right) \left(z_2-z_4\right)}{\left(z_2-z_3\right) \left(z_1-z_4\right)}=
 \frac{\left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)}{\left(\frac{a z_2+b}{c z_2+d}-\frac{a z_3+b}{c z_3+d}\right) \left(\frac{a z_1+b}{c z_1+d}-\frac{a z_4+b}{c z_4+d}\right)}
-$$
+</math>
 * 교차비는 사영기하학의 불변량이다
 [[파일:3259985-afigure006-riemann65.jpg]]