"르장드르 타원곡선"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 00:08 판

\[y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}\]

주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
'characterize the linear differential equations that come from the cohomology of some family of algebraic varieties'는 수학의 중요한 문제

타원곡선의 주기를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 \(t \in \mathbb{C}\)의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다

\[ \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\ \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \]

\[ z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0 \]

\[ \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) \]

\[ \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2 \]

Totaro, Burt. 2007. “Euler and Algebraic Geometry.” Bulletin of the American Mathematical Society 44 (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0.

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 ==개요==
 * 다음의 타원곡선들을 르장드르의 타원곡선 모임이라 함
-$$y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}$$
+:<math>y^2=x(x-1)(x-t), \quad t \in \mathbb{C}</math>
 * 주기적분으로부터 '기하학에서 오는' 선형미분방정식의 예를 얻는다
 * 호지 구조의 variation에 해당하는 간단한 예
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 ==피카르-푸크스 미분방정식==
-* [[타원곡선의 주기]]를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 $t \in \mathbb{C}$의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다
+* [[타원곡선의 주기]]를 주기 적분 (period integral)으로 주어진 <math>t \in \mathbb{C}</math>의 함수로 생각할 수 있고, 이는 다음과 같이 주어진다
-$$
+:<math>
 \Omega_1(t)=\int_{t}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}} \\
 \Omega_2(t)=\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-t)}}
-$$
+</math>
 * 이들은 다음의 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족한다
-$$
+:<math>
 z(1-z)\frac{d^2 \Omega}{dz^2}+(1-2z)\frac{d\Omega}{dz}-\frac{1}{4}\Omega = 0
-$$
+</math>
 * [[오일러-가우스 초기하함수2F1]]로 표현된다
-$$
+:<math>
 \Omega_{2}(z)=\pi\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)
-$$
+</math>
 * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
-$$
+:<math>
 \int_1^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x(x-1)(x-\lambda)}}=2K(k), \quad \lambda=k^2
-$$
+</math>