"포흐하머 (Pochhammer) 기호"의 두 판 사이의 차이

2014년 1월 3일 (금) 16:19 판

$$(x)_m=\overbrace{x(x+1)(x+2)...(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}$$

$$x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}$$

$$x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}$$

\[\Delta x^{\underline{k}} = k\ x^{\underline{k-1}},\]

\[D x^k = k\ x^{k-1},\]

예)

원소가 k개인 집합에서 n개인 집합으로 가는 단사함수의 개수

$n\in\mathbb{N}$ 인 경우\[{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})\]

$n\in\mathbb{Z}$ 인 경우\[{(1-a)_q^n}:=(a;q)_n = \frac{(a;q)_{\infty}}{(aq^n;q)_{\infty}}=\frac{(1-a)_q^{\infty}}{(1-aq^n)_q^{\infty}}\]

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 ==개요==
+* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)]]에서 유용
-*
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-==Pochhammer 기호==
+==포흐하머 기호==
+===상승 팩토리얼===
-*  falling 팩토리얼이라 불리기도 함:<math>(a)_0 = 1</math>:<math>(a)_n=a(a-1)(a-2)...(a-n+1)</math><br>
+* 정의
+$$(x)_m=\overbrace{x(x+1)(x+2)...(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}$$
+* 다음의 기호를 사용하기도 한다
+$$x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}$$
+===하강 팩토리얼===
+* 정의
+$$x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}$$
+* [[계차수열]]은 다음과 같이 주어진다
+:<math>\Delta x^{\underline{k}} = k\ x^{\underline{k-1}},</math>
+* 이는 다항식의 미분에서 다음과 유사하다
+:<math>D x^k = k\ x^{k-1},</math>
 예)
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 ==q-Pochhammer 기호==
-*  q-analogue [[q-Pochhammer 기호]]<br>
+*  q-analogue [[q-Pochhammer 기호]]