"Quantized universal enveloping algebra"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 27일 (금) 16:54 판

Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
\(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) symmetrizable GCM
- \(D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}\) diagonal matrix s.t. DA is symmetric
\(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
\(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
\(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
\(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
\(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)}=a_{ji}\}\) : simple roots

정수 n에 대하여 다음과 같이 정의
\([n]_{q_i} =\frac{q_{i}^{n}-q_{i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} \)
\([0]_{q_i} =1\)
\([n]_{q_i}!=[n]_{q_i}[n]_{q_i}\cdots [n]_{q_i}\)
\({m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}}\)
극한 \(q \to 1\)

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 <h5>이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
+* [[quantized universal enveloping algebra]]
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 <h5>개요</h5>
+* <math>U_{q}(\mathfrak{g})</math> : Kac-Moody 대수의 UEA <math>U(\mathfrak{g})</math> 의 deformation
+* 호프 대수 (Hopf algebra)의 구조를 가짐
+* 양자군의 예
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 * 생성원 <math>e_i,f_i , (i\in I)</math>, <math>q^{h} (h\in P^{\vee})</math>
-*
+*  관계식<br>
-*  세르 관계식<br>
 ** <math>q^0=1</math>
 ** <math>q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}</math>
-** <math>e_if_j-f_je_i=\delta_{i,j}\frac{q^{h_is_i}-q^{-h_is_i}}{q_i-q_i^{-1}}</math>
+** <math>e_if_j-f_je_i=\delta_{i,j}\frac{q^{h_is_i}-q^{-h_is_i}}{q_i-q_i^{-1}}</math> whe
-**
+** <math>q^he_jq^{-h}=q^{\alpha_j(h)}e_j</math>
-** <math>\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j</math>
+** <math>q^hf_jq^{-h}=q^{-\alpha_j(h)}f_j</math>
-** <math>\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j</math>
+** <math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0</math> (<math>i\neq j</math>)
-** <math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0</math> (<math>i\neq j</math>)<br><math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0</math> (<math>i\neq j</math>)<br>
+** <math>\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0</math> (<math>i\neq j</math>)<br>