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* 양자군의 예
 
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* <math>P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}</math> : weight lattice
 
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* <math>\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}</math> : simple coroots
 
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*  정수 n에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>[n]_{q_i} =\frac{q_{i}^{n}-q_{i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} </math><br><math>[0]_{q_i} =1</math><br><math>[n]_{q_i}!=[n]_{q_i}[n]_{q_i}\cdots [n]_{q_i}</math><br><math>{m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}}</math><br>
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*  정수 n에 대하여 다음과 같이 정의<br><math>[n]_{q_i} =\frac{q_ {i}^{n}-q_ {i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} </math><br><math>[0]_{q_i} =1</math><br><math>[n]_{q_i}!=[n]_ {q_i}[n]_ {q_i}\cdots [n]_{q_i}</math><br><math>{m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_ {q_ {i}!}[m-n]_ {q_i}!}}</math><br>
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* 생성원 <math>e_i,f_i , (i\in I)</math>, <math>q^{h} (h\in P^{\vee})</math>
 
* 생성원 <math>e_i,f_i , (i\in I)</math>, <math>q^{h} (h\in P^{\vee})</math>
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<h5>호프 대수 구조</h5>
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*  counit<br><math>\epsilon(q^{h}) =1</math><br><math>\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0</math><br>
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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==메모==
  
 
* http://mathoverflow.net/questions/5538/why-drinfeld-jimbo-type-quantum-groups
 
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  
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==관련된 항목들==
  
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2012년 10월 8일 (월) 06:43 판

개요

  • \(U_{q}(\mathfrak{g})\) : Kac-Moody 대수의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 의 deformation
  • 호프 대수 (Hopf algebra)의 구조를 가짐
  • 양자군의 예



Cartan datum

  • Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
  • \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) symmetrizable GCM
    • \(D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}\) diagonal matrix s.t. DA is symmetric
  • \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
  • \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
  • \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
  • \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
  • \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)}=a_ {ji}\}\) : simple roots






정수의 q-analogue

  • 정수 n에 대하여 다음과 같이 정의
    \([n]_{q_i} =\frac{q_ {i}^{n}-q_ {i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} \)
    \([0]_{q_i} =1\)
    \([n]_{q_i}!=[n]_ {q_i}[n]_ {q_i}\cdots [n]_{q_i}\)
    \({m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_ {q_ {i}!}[m-n]_ {q_i}!}}\)
  • 극한 \(q \to 1\)



quantized universal enveloping algebra \(U_{q}(\mathfrak{g})\)

  • 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(q^{h} (h\in P^{\vee})\)
  • 관계식
    • \(q^0=1\)
    • \(q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}\)
    • \(e_if _j-f_je _i=\delta_{i,j}\frac{k_i-k_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}\) 여기서 \(k_{i}=q^{h_is _i}\)
    • \(q^he_jq^{-h}=q^{\alpha_j(h)}e_j\)
    • \(q^hf_jq^{-h}=q^{-\alpha_j(h)}f_j\)
    • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}e_ {i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_ {i}^k=0\) (\(i \n eq j\))
    • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}f_ {i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_ {i}^k=0\) (\(i \n eq j\))



호프 대수 구조

  • comultiplication
    \(\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})\)
    \(\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}\)
    \(\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i^{-1}+1\otimes e_i\)
    \(\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i\otimes f_i\)
  • counit
    \(\epsilon(q^{h}) =1\)
    \(\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0\)
  • antipode
    \(S(q^h) = q^{-h}\) for \(x \in \mathfrak{g}\)
    \(S(e_i) =-e_ik_i, S(f_i)=-k_i^{-1}f_i\)



역사



메모



관련된 항목들

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
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