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==호프 대수 구조==
 
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*  comultiplication :<math>\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})</math>:<math>\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}</math>:<math>\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i^{-1}+1\otimes e_i</math>:<math>\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i\otimes f_i</math><br>
  
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*  counit<br><math>\epsilon(q^{h}) =1</math><br><math>\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0</math><br>
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*  counit:<math>\epsilon(q^{h}) =1</math>:<math>\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0</math><br>
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*  antipode<br><math>S(q^h) = q^{-h}</math> for <math>x \in \mathfrak{g}</math><br><math>S(e_i) =-e_ik_i, S(f_i)=-k_i^{-1}f_i</math><br>
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*  antipode:<math>S(q^h) = q^{-h}</math> for <math>x \in \mathfrak{g}</math>:<math>S(e_i) =-e_ik_i, S(f_i)=-k_i^{-1}f_i</math><br>
  
 
   
 
   

2013년 1월 12일 (토) 09:09 판

개요

Cartan datum

  • Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
  • \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) symmetrizable GCM
    • \(D=\operatorname{diag}(s_i\in\mathbb{Z}_{\geq 0})_{i \in I}\) diagonal matrix s.t. DA is symmetric
  • \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : dual weight lattice
  • \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
  • \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
  • \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
  • \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_ {ji}\}\) : simple roots



정수의 q-analogue

  • 정수 n에 대하여 다음과 같이 정의\[[n]_{q_i} =\frac{q_ {i}^{n}-q_ {i}^{-n}}{q_i-q_i^{-1}} \]\[[0]_{q_i} =1\]\[[n]_{q_i}!=[n]_ {q_i}[n]_ {q_i}\cdots [n]_{q_i}\]\[{m \choose n}_{q_{i}}=\frac{[m]_{q!}}{[n]_{q_{i}!}[m-n]_{q_i}!}\]
  • 극한 \(q \to 1\)

quantized universal enveloping algebra \(U_{q}(\mathfrak{g})\)

  • 생성원 \(e_i,f_i , (i\in I)\), \(q^{h} (h\in P^{\vee})\)
  • 관계식
    • \(q^0=1\)
    • \(q^{h}q^{h'}=q^{h+h'}\)
    • \(e_if _j-f_je _i=\delta_{i,j}\frac{k_i-k_i^{-1}}{q_i-q_i^{-1}}\) 여기서 \(k_{i}=q^{h_is _i}\)
    • \(q^he_jq^{-h}=q^{\alpha_j(h)}e_j\)
    • \(q^hf_jq^{-h}=q^{-\alpha_j(h)}f_j\)
    • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}e_ {i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_ {i}^k=0\) (\(i \neq j\))
    • \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}_{q_{i}}f_ {i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_ {i}^k=0\) (\(i \neq j\))



호프 대수 구조

  • comultiplication \[\Delta : U_{q}(\mathfrak{g}) \to U_{q}(\mathfrak{g}) \otimes U_{q}(\mathfrak{g})\]\[\Delta(q^{h}) =q^{h}\otimes q^{h}\]\[\Delta(e_i)=e_i\otimes k_i^{-1}+1\otimes e_i\]\[\Delta(f_i)=f_i\otimes 1+ k_i\otimes f_i\]
  • counit\[\epsilon(q^{h}) =1\]\[\epsilon(e_i)=\epsilon(f_i)=0\]
  • antipode\[S(q^h) = q^{-h}\] for \(x \in \mathfrak{g}\)\[S(e_i) =-e_ik_i, S(f_i)=-k_i^{-1}f_i\]



역사



메모



관련된 항목들

 

수학용어번역

 

 

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사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 


 

 

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