데데킨트 제타함수

개요

• 수체 \(K\)에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

\[\zeta_{K}(s):=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\]

• 예
  • \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 리만제타함수를 얻음
• 전체 복소평면으로 해석적확장(analytic continuation) 되며, \(s=1\) 에서 simple pole을 가진다

기호

• \(K\) 수체
• \(C_K\) ideal class group

함수방정식

• 리만제타함수 의 함수방정식\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)\]\[\xi(s) = \xi(1 - s)\]
• 리만제타함수는 \(K=\mathbb{Q}\) 인 경우, 즉 \(\zeta(s)=\zeta_{\mathbb{Q}}(s)\)
• 데데킨트 제타함수에 대해서 다음과 같은 함수방정식이 성립\[\xi_{K}(s)=\left|d_K\right|{}^{s/2} 2^{r_2 (1-s)} \pi ^{\frac{1}{2} \left(-r_1-2 r_2\right) s}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)^{r_1} \Gamma (s)^{r_2}\zeta _K(s)\]\[\xi_{K}(s) = \xi_{K}(1 - s)\]

디리클레 유수 공식

• \(s=1\) 에서의 유수(residue)는 디리클레 유수 (class number) 공식으로 주어진다

\[ \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot R_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\]

• \(s=0\) 에서 order 가 \(r_1+r_2-1\) 인 zero를 가지며 다음이 성립한다\[ \lim_{s\to 0}\frac{\zeta_K(s)}{s^{r_1+r_2-1}}=-\frac{h_K R_K}{w_K}\]

부분제타함수

• 각각의 ideal class \(A\in C_K\) 에 대하여, 부분 데데킨트 제타함수를 다음과 같이 정의\[\zeta_{K}(s,A)=\sum_{\mathfrak{a} \in A }\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}\]
• 제타함수는 부분 데데킨트 제타함수의 합으로 쓰여지게 됨\[\zeta_{K}(s)=\sum_{A \in C_K}\zeta_{K}(s,A)\]
• 더 일반적으로 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여, 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음\[L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\]

예

• 이차수체의 데데킨트 제타함수
• 복소이차수체의 데데킨트 제타함수
• 원분체의 데데킨트 제타함수 항목 참조

special values

클링겐-지겔 (Klingen-Siegel) 정리

• 클링겐-지겔 (Klingen-Siegel) 정리
• F : totally real 수체
• \([F: \mathbb{Q}]=n\)
• $m>0$일 때, 다음을 만족하는 적당한 유리수 \(r(m)\in \mathbb{Q}\)가 존재한다

\[\zeta_{F}(2m)=r(m)\frac{\pi^{2mn}}{\sqrt{|d_{F}|}}\]

• http://planetmath.org/SiegelKlingenTheorem.html

Zagier, Bloch, Suslin

• \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)일 때,

\[\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} \frac{\pi^{2(r_1 + r_2)}}{\sqrt{|d_{K}|}}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\] 여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(K)\otimes \mathbb{Q}\)의 $\mathbb{Q}$-basis D는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm) 함수이며, \(a\sim_{\mathbb{Q^{\times}}} b\) 는 \(a/b\in\mathbb{Q}\) 를 의미함

역사

• 수학사 연표

메모

• http://www.umpa.ens-lyon.fr/~brunault/recherche/parma.pdf
• http://mathoverflow.net/questions/87873/dedekind-zeta-function-behaviour-at-1

관련된 항목들

• 디리클레 유수 (class number) 공식
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcXFHOEFSMHc1bUk/edit
• Tables of Values of Dedekind Zeta Functions

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function

리뷰, 에세이, 강의노트

• H. M. Stark, "Galois theory, algebraic number theory and zeta functions" ,in \ From number theory to physics", ed. M. Walschmidt, P. Moussa, J.-M. Luck, C. Itzykson Springer
• H. M. Stark, The analytic theory of algebraic numbers http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183537391
• Matilde N. Lalin, Hyperbolic volumes and zeta values An introduction

관련논문

• Zagier, Don. ‘Hyperbolic Manifolds and Special Values of Dedekind Zeta-Functions’. Inventiones Mathematicae 83, no. 2 (1 June 1986): 285–301. doi:10.1007/BF01388964.
• D. Zagier, Polylogarithms, Dedekind zeta functions and the algebraic K-theory of fields
• Borel, A. ‘Commensurability Classes and Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds’. Annali Della Scuola Normale Superiore Di Pisa - Classe Di Scienze 8, no. 1 (1981): 1–33.