등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

개요

• 10k＋1 꼴의 소수는 무한히 많다 와 같은 정리의 일반화

정리 (디리클레, 1837)

자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,⋯) 는 무한히 많은 소수를 포함한다

• 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다
• 7로 나눈 나머지가 5인 소수는 무한히 많다
• h 와 k 가 서로 소일 때, h로 나눠서 k가 남는 소수는 무한히 많다.

증명

• 푸리에 해석과 순환군의 표현론의 아이디어를 결합시킴.

증명의 아이디어

소수의 역수의 합이 발산하는 것은 이미 소수와 리만제타함수 를 통해 알고 있다. \[\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\] 이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해준다. 디리클레 정리는 이러한 해석학적 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합하여 얻어진다.

예를 들어, 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) 는 두 가지 경우가 가능하다

• \(\chi_0(3)=1\) 인 경우
• \(\chi_1(3)=-1\) 인 경우

자연수 집합을 정의역으로 갖는 함수 \(f\)를 다음과 같이 정의하자 \[f(n) = \begin{cases} 1\mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \\ 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4} \end{cases}\] 이는 \(f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}\) 로 쓸 수 있다. 따라서, \[\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p})\]

우변의 첫번째 항은 다음에 의해 발산함을 안다. \[ 1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty \]

우변의 두번째 항은 다음에 의해 수렴함을 안다. \[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\] 이는 라이프니츠 급수이다.

따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있다. 마찬가지로 \(f\)를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있다.

군표현론

• \(G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
• 순환군과 유한아벨군의 표현론 참조
• 유한군의 표현론

디리클레 L-함수

• 자세한 사항은 디리클레 L-함수 항목을 참고

정의

primitive인(즉, q보다 작은 주기를 갖지 않는) 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\) 에 대하여, 디리클레 L-함수를 다음과 같이 정의함.\[L(s, \chi) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\]

s=1일 때, 디리클레 L-함수의 값

• 디리클레 L-함수 항목에서 가져옴
• 일반적으로 \(\chi\neq 1\)인 primitive 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/f\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{\times}\)에 대하여 \(L(1,\chi)\)의 값은 다음과 같이 주어짐\[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,f)=1}\bar\chi(a)\log(1-e^{-2\pi i a/f})\]
• 여기서 \(\tau(\chi)\)에 대해서는 가우스 합 항목 참조\[\tau_a(\chi)=\sum_{(j,f)=1}\chi(j)e^{2\pi i aj/f}\]\[\tau(\chi)=\tau_1(\chi)\]
• 좀더 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있음
  • \(\chi(-1)=-1\) 인 경우 \[L(1,\chi)= \frac{i \pi\tau(\chi)}{f^2}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a) a\]
  • \(\chi(-1)=1\) 인 경우 \[L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{f}\sum_{(a,q)=1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{f})\]
• \(\chi\neq 1\) 인 경우에 대해서, 디리클레는 \(L(1,\chi)\neq 0 \)를 증명
• 이차수체 \(K\)의 경우, \(L_{d_K}(1)\) 의 값은 이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식 과 밀접하게 관련되어 있음

메모

\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)

\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)

\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)

\(\log(1+x) \approx x\)

\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)

역사

• 수학사 연표
• 1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명
• 1859 - 리만이 리만가설을 발표

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 순환군

관련된 항목들

• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• Chebotarev density theorem
• 푸리에 변환

리뷰, 에세이, 강의노트

• Avigad, Jeremy, and Rebecca Morris. 2014. “Character and Object.” arXiv:1404.4832 [math], April. http://arxiv.org/abs/1404.4832.

관련논문

• Dirichlet, Peter Gustav Lejeune. ‘There Are Infinitely Many Prime Numbers in All Arithmetic Progressions with First Term and Difference Coprime’. arXiv:0808.1408 [math], 10 August 2008. http://arxiv.org/abs/0808.1408.

관련도서

• Introduction to Analytic Number Theory (Undergraduate Texts in Mathematics)
  • Tom M. Apostol

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/디리클레
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_arithmetic_progressions