"양자 조화진동자"의 두 판 사이의 차이

2015년 4월 25일 (토) 07:04 판

개요

고전 역학에서의 조화진동자

고전 단순 조화 진동자
질량 m, frequency $\omega$ 인 조화진동자
해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 또는 \[\ddot{x}+\omega^{2} x=0\]

양자조화진동자

위치 연산자와 운동량 연산자\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]
해밀토니안\[\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]
사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
교환자 관계식

\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]

슈뢰딩거 방정식

양자 조화진동자와 슈뢰딩거 방정식

energy eigenstates

$\hbar=1$ 이라 가정하자
a harmonic oscillator that vibrates with frequency $\omega$ can have energy $\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots$
바닥 상태의 에너지
- lowest energy state
- $\omega/2$
$E_n=(n+1/2)\omega=(n+1/2)h\nu$라 두자
분배함수

$$ Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}} $$

역사

메모

“The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
quartic anharmonic oscillator http://facultypages.morris.umn.edu/math/Ma4901/Sp2013/Final/RobertSmith-Final.pdf

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

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 *  해밀토니안:<math>\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2</math>:<math>\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)</math>
 *  사다리 연산자(ladder operator):<math>a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)</math>:<math>a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)</math>
-*  Commutation relation:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] =   \hbar \omega a^\dagger</math>
+* 교환자 관계식
+:<math>\left[a , a^{\dagger} \right] = 1</math>:<math>\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a</math>:<math>\left[ H, a^\dagger \right] =   \hbar \omega a^\dagger</math>
 ==슈뢰딩거 방정식==
+* [[양자 조화진동자와 슈뢰딩거 방정식]]
-* [[슈뢰딩거 방정식]]
-*  위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다:<math>E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}</math>:<math>V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2</math>
-* energy eigenstate의 파동함수는 <math>\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)</math> 형태로 쓸 수 있다
-* http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
-* http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
-* [[에르미트 다항식(Hermite polynomials)]]
 ==energy  eigenstates==
 * <math>\hbar=1</math> 이라 가정하자
 *  a harmonic oscillator that vibrates with frequency <math>\omega</math> can have energy <math>\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots</math>
 *  바닥 상태의 에너지
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 Z(T)=\sum_{n=0}^{\infty}\exp(-\frac{E_n}{kT})=\frac{1}{2\sinh \frac{h\nu}{2kT}}
 $$
 ==역사==