"격자의 세타함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">정의</h5>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;"><math>\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}=  \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math>정의</h5>
  
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*  격자 <math>L</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함<br><math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}</math> <br>
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*  격자 <math>L</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함<br><math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}</math><br>
 
*  여기서 <math>x^2</math> 은 벡터 <math>x</math>의 norm 을 가리킴.<br>  <br>
 
*  여기서 <math>x^2</math> 은 벡터 <math>x</math>의 norm 을 가리킴.<br>  <br>
  
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rank가 2n의 even unimodular 격자 <math>L</math>에 대하여 , 세타함수 <math>\theta_L</math> 은 모듈라 형식이 된다.
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rank가 2n의 even unimodular 격자 <math>L</math>에 대하여 , 세타함수 <math>\theta_L</math> 은 weight n인 모듈라 형식이 된다.
  
 
 
 
 

2009년 7월 8일 (수) 22:35 판

\(\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\)정의
  • 격자 \(L\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함
    \(\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}\)
  • 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.
     
자코비 세타함수의 경우
  • 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수.
    \(\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)

 

세타함수의 모듈라 성질

(정리)

rank가 2n의 even unimodular 격자 \(L\)에 대하여 , 세타함수 \(\theta_L\) 은 weight n인 모듈라 형식이 된다.

 

(증명)

먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 당연히 만족된다. ( \(\theta_L(i\infty)=1\) 도 알 수 있음.)

 

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