"곡선"의 두 판 사이의 차이

2010년 10월 11일 (월) 13:24 판

\((1,0,0)\) 에서 \((1,0,6\pi)\)까지의 곡선의 길이

At \((1,0,0)\), \(t=0\) and at \((1,0,6\pi)\), \(t=2\pi\)

\(\overrightarrow{r}'(t)=(-\sin t,\cos t, 3)\)

\(|\overrightarrow{r}'(t)| =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t +9}=\sqrt{10}\)

곡선의 길이는 다음과 같이 주어지게 된다

\(L=\int_{0}^{2\pi}|\overrightarrow{r}'(t)| \,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{10}\,dt=2\sqrt{10}\pi\)

\(\overrightarrow{T}(t)=\frac{\overrightarrow{r}'(t)}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{(-\sin t,\cos t, 3)}{\sqrt{10}}\)

\(\overrightarrow{T}'(t)=\frac{(-\cos t,-\sin t, 0)}{\sqrt{10}}\)

\(k=\frac{|\overrightarrow{T}'(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{\frac{|(-\cos t,\sin t, 0)|}{\sqrt{10}}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{10}\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
+* 매개화된 곡선 <math>\overrightarrow{r}(t)=(\cos t,\sin t, 3t)</math>.
-매개화된 곡선 <math>\overrightarrow{r}(t)=(\cos t,\sin t, 3t)</math>.
+<h5>곡선의 길이</h5>
  <math>(1,0,0)</math> 에서 <math>(1,0,6\pi)</math>까지의 곡선의 길이
 At <math>(1,0,0)</math>, <math>t=0</math> and at <math>(1,0,6\pi)</math>, <math>t=2\pi</math>
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 <math>|\overrightarrow{r}'(t)| =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t +9}=\sqrt{10}</math>
-The arclength is given by
+곡선의 길이는 다음과 같이 주어지게 된다
 <math>L=\int_{0}^{2\pi}|\overrightarrow{r}'(t)| \,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{10}\,dt=2\sqrt{10}\pi</math>
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-곡률
+<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">곡률</h5>
+*  곡선의 방향의 변화를 재는 양<br>
+*   <br>
 <math>\overrightarrow{T}(t)=\frac{\overrightarrow{r}'(t)}{|\overrightarrow{r}'(t)|}=\frac{(-\sin t,\cos t, 3)}{\sqrt{10}}</math>
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 <h5>관련된 항목들</h5>
+* [[이차곡선(원뿔곡선)]]
+* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]]