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2020년 12월 28일 (월) 03:24 판
개요
- \(G\) : 유한군
- \(X\) \[G\]가 작용하는 유한집합
- \(X^g=\{x\in X| gx=x\}\)
- 다음이 성립한다
\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|\]
응용
3차원 유한회전군
- 3차원 유한회전군의 분류 항목 참조
- \(G\)가 \(SO(3)\)의 유한회전군이라 하고, 각 \(g\in G,g\neq 1\)의 회전축상에 놓인 구면위의 점들의 집합을 \(X\)라 하자. 즉 \(X=\{x\in S^2|gx=x, \text{for some }g\in G,g\neq 1\}\)
- \(g\neq 1\)은 두 점만을 고정하므로, 번사이드 정리에 의하여 다음을 얻는다
\[|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|=\frac{|X|}{|G|}+2-\frac{2}{|G|}\label{burn1}\]
- 궤도 \(C\in X/G\)에 대하여, \(|G_x|, x\in C\)는 \(x\)에 의존하지 않으며, 따라서 \(|G_C|:=|G_x|\)는 잘 정의된다. 이 때, \(|C|=|G|/|G_C|\)이 성립한다
- \(|X|=\sum_{C}|C|=\sum_{C}|G|/|G_C|\)로부터 다음을 얻는다
\[|X/G|-\frac{|X|}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|}\label{burn2}\]
- \ref{burn1}과 \ref{burn2}로부터 다음을 얻는다
\[ 2-\frac{2}{|G|}=\sum_{C}1-\frac{1}{|G_C|} \]
관련된 고교수학 또는 대학수학
- 군론
- group action
메모
- http://simomaths.wordpress.com/2013/01/13/burnsides-lemma-and-polya-enumeration-theorem-1/
- http://users.wpi.edu/~bservat/strippat.pdf
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/번사이드_보조정리
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/burnside's_lemma
관련논문
- Neumann, Peter M., A lemma that is not Burnside's.