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수학노트

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2012년 1월 16일 (월) 06:08 판

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구면(sphere)

개요

구면기하학의 모델

매개화

3차원상의 반지름이 R인 구면 \( x^2+y^2+z^2 = R^2\)
매개화
\(X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v)\)
\(0<u<2\pi\), \(0<v<\pi\)
\(X_u=R(- \sin u \sin v , \cos u \sin v ,0)\)
\(X_v=R( \cos u \cos v , \sin u \cos v ,-\sin v)\)
\(N=(-\cos u \sin v, -\sin u \sin v, -\cos v)\)
\(X_{uu}=R(-\cos u \sin v , -\sin u \sin v ,0)\)
\(X_{uv}=R(-\cos v \sin u , \cos u \cos v , 0)\)
\(X_{vv}=R(- \cos u \sin v , - \sin u \sin v , - \cos v )\)

제1기본형식

\(E=R^2\sin^2 v\)
\(F=0\)
\(G=R^2\)

크리스토펠 기호

크리스토펠 기호 항목 참조
\(\Gamma^1_{11}=0\)
\(\Gamma^1_{12}=\cot v\)
\(\Gamma^1_{21}=\cot v\)
\(\Gamma^1_{22}=0\)
\(\Gamma^2_{11}=-\sin v \cos v\)
\(\Gamma^2_{12}=0\)
\(\Gamma^2_{21}=0\)
\(\Gamma^2_{22}=0\)

측지선

측지선 이 만족시키는 미분방정식
\(\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0\)
풀어쓰면,
\(\frac{d^2 u}{dt^2} + 2\Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{du }{dt}\frac{dv }{dt} = 0\)
\(\frac{d^2 v}{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{du }{dt}\frac{du }{dt} = 0\)

가우스곡률

가우스곡률 항목 참조
\(K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\)
반지름 R인 구면의 가우스곡률
\(K=\frac{1}{R^2}\)

라플라시안

위의 좌표계에서 \(u=\phi,v=\theta\) 로 생각하자.
라플라시안
\(\Delta f = {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)

역사

메모

http://users-phys.au.dk/fedorov/nucltheo/GTR/09/note6.pdf

관련된 항목들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

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