"미분기하학"의 두 판 사이의 차이
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** S. Stahl<br> | ** S. Stahl<br> | ||
* [http://www.amazon.com/Geometry-Surfaces-John-Stillwell/dp/0387977430 Geometry of Surfaces]<br> | * [http://www.amazon.com/Geometry-Surfaces-John-Stillwell/dp/0387977430 Geometry of Surfaces]<br> | ||
2009년 12월 1일 (화) 19:14 판
간단한 요약
- 국소적으로 유클리드 공간과 같은 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
- 일명 비유클리드기하학.
- Euclidean plane, sphere, upper half-plane 세가지 상수 곡률 곡면을 이해하는 것이 중요함.
- 이들 곡면은 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델.
- 이들 곡면은 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델.
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
다루는 대상
- 곡선
- 곡면
중요한 개념 및 정리
- 접속 (connection)
- 공변미분(covariante derivative)
- 측지선
- 평행이동
- 공변미분이 주어지면, 곡선을 따라 벡터를 평행이동할 수 있다
- 메트릭이 주어진 곡면
- first fundamental form
- 가우스 곡률
- 가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)
- 가우스-보네 정리
유명한 정리 혹은 재미있는 문제
다른 과목과의 관련성
- 대수적 위상수학
- 오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
- g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
- 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
- 오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
- 복소함수론
- 단위원 또는 upper half-plane 의 group of conformal automorphisms = group of isometries
- Uniformization theorem
- 추상대수학
- 군론 - discrete subgroups of isometry group
- 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
- 미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra
- 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어
역사
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 미분다양체론(differentiable manifolds)
- 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
- 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
- 리만기하학(Riemannian geometry)
- 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
- 리군과 Symmetric spaces의 분류
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/미분기하학
- http://en.wikipedia.org/wiki/differential_geometry
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
표준적인 교과서
- do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.
추천도서 및 보조교재
- Poincare Half-Plane (A Gateway to Modern Geometry)
- S. Stahl
- S. Stahl
- Geometry of Surfaces
- John Stillwell
- The Shape of Space
- Jeffrey R. Weeks
- 일반 독자를 위한 책
관련논문
- Geometry and the Foucault Pendulum
- John Oprea
- The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 515-522
- Kleinian Transformation Geometry
- Richard S. Millman
- The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 5 (May, 1977), pp. 338-349
- The Geometry of Connections
- R. S. Millman and Ann K. Stehney
- The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500
- From Triangles to Manifolds
- Shing-Shen Chern
- The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 5 (May, 1979), pp. 339-349
- How Hyperbolic Geometry Became Respectable
- Abe Shenitzer
- The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5 (May, 1994), pp. 464-470