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<h5>크리스토펠 기호</h5>
 
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* 1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 [[3304643#|쌍곡기하학]]을 발견
 
* 1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 [[3304643#|쌍곡기하학]]을 발견
 
* 1854 - 리만이 리만기하학을 소개
 
* 1854 - 리만이 리만기하학을 소개
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* [http://math.uh.edu/%7Eminru/Riemann09/five1.pdf http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf]
  
 
 
 
 

2010년 1월 11일 (월) 00:32 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
  • 비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
  • 미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식을 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다

 

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

 

다루는 대상
  • 곡선
  • 곡면

 

중요한 개념 및 정리

 

 

곡면을 이해하는 두 가지 관점
  • 3차원 공간에 놓인 곡면
  • 3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
  • 학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨

 

 

first fundamental form과 면적소
  • \(ds^2 = Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\)
  • \(dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv\)

 

 

크리스토펠 기호

\(\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}\)

\(\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}\)

 

 

 


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가우스곡률

\((EG-F^2)^2 K = \left( \begin{vmatrix} -\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\\frac{1}{2}G_v & F & G \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\\frac{1}{2}E_v & E & F\\\frac{1}{2}G_u & F & G \end{vmatrix} \right)\)

 

 

접속(connection)
  • 방향미분의 일반화

 

 

곡면의 예
  • 유클리드평면, 구면, 푸앵카레 상반평면 세가지 상수 곡률 곡면
    • 이들 곡면은 각각 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델

 

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

 

 

다른 과목과의 관련성

 

역사

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
  • 미분다양체론(differentiable manifolds)
    • 다양체란 1차원 공간인 곡선, 2차원 공간인 곡면을 일반화한 n차원의 공간
    • 미분다양체는 미적분학을 할 수 있는 다양체를 뜻함
  • 리만기하학(Riemannian geometry)
    • 곡면에 메트릭을 주는 것을 일반화하여 메트릭이 주어진 미분다양체를 공부함
  • 리군과 Symmetric spaces의 분류

 

 

메모

 

사전 형태의 자료

 

 

표준적인 교과서
  • do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.

 

추천도서 및 보조교재

 

관련논문
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